2011　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】

(ⅰ)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，${\log }_4{\sin }^5\theta +{\log }_4{\cos }^5\theta$の最大値は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)}}}{\boxed{\text{(2)}}}}$である．

【１】

(ⅱ)　${\left({\displaystyle \frac{x^3+3}{x}}\right)}^6$を展開したとき，定数項は$\boxed{\text{(3)}\text{(4)}\text{(5)}\text{(6)}}$である．

【１】

(ⅲ)　正四面体のさいころがあり，それぞれの面に数字$2\text{，}3\text{，}5\text{，}7$がひとつずつ書かれている．$n$を自然数とし，このさいころを振って$n$回目に出た目を$a_n$とする．数列$\{b_n\}$を

$b_1=a_1\text{，}{b}_{n+1}=a_{n+1}\cdot b_n$

で定義するとき，$b_n$の期待値は${\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(7)}\text{(8)}}}{\boxed{\text{(9)}}}}\right)}^n$である．また，$b_m=12348$となるとき$m=\boxed{\text{(10)}}$であり，そのような事象が起こる値の組$\{b_1,\cdots ,b_{m-1}\}$は$\boxed{\text{(11)}\text{(12)}\text{(13)}}$通り存在する．

【２】　座標空間の原点$\mathrm{O}(0,0,)$と，球面$x^2+y^2+z^2=1$上の$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{P}(a,b,c)$を考える．

(ⅰ)　$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\text{，}\mathrm{BP}={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}\text{，}c>0$のとき，

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(14)}}}{\boxed{\text{(15)}}}}\text{，}b=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(16)}}}{\boxed{\text{(17)}}}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(18)}}}}{\boxed{\text{(19)}}}}$

である．また，$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると，

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(20)}\text{(21)}}}}{\boxed{\text{(22)}}}}$

であり，$▵\mathrm{APB}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(23)}}}}{\boxed{\text{(24)}}}}$である．

(ⅱ)　次に，$a=-{\displaystyle \frac{2}{5}}\text{，}b={\displaystyle \frac{4}{5}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標は

$(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}\text{(27)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}\text{(29)}}}{\boxed{\text{(30)}\text{(31)}}}},0)$

である．また，直線$\mathrm{PH}$ と球面の交点のうち，$\mathrm{P}$ と異なる方の点の座標は

$(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(32)}\text{(33)}}}{\boxed{\text{(34)}\text{(35)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(36)}\text{(37)}}}{\boxed{\text{(38)}\text{(39)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(40)}\text{(41)}}\sqrt{\boxed{\text{(42)}}}}{\boxed{\text{(43)}\text{(44)}}}})$

である．

【３】　あなたと友人合わせて$8$人でレストランに行き，最大$5$人まで着席できる壁ぎわのカウンター（片側のみ横$1$列に着席できる長テーブル）ひとつと，最大$6$人まで円形に着席できる丸テーブルひとつに分かれて着席することにした．ただし，カウンターと丸テーブルそれぞれの最大着席可能人数を超えないように人数を配分し，それぞれのテーブルを着席人数で等分するようにいすを配置するものとする．例えば，カウンターに$3$人，丸テーブルに$5$人着席するときのいすの配置は右図のようになる．

(ⅰ)　カウンターに着席するグループと，丸テーブルに着席するグループへの分け方について考える．カウンターに着席する人数が$2$人であるようなグループ分けの方法は$\boxed{\text{(45)}\text{(46)<mspace width=".2em"></mspace>}}$通りある．また，グループ分けの方法は全部で$\boxed{\text{<mspace width=".2em"></mspace> (47)<mspace width=".2em"></mspace>}\text{<mspace width=".2em"></mspace> (48)<mspace width=".2em"></mspace>}\text{<mspace width=".2em"></mspace>(49)<mspace width=".2em"></mspace>}}$通りある．

(ⅱ)　全員の着席位置について考える．ただし丸テーブルについては，回転して重ね合わせることができる配置は同じものとみなす．カウンターに着席する人数が$2$人であるような着席位置は$\boxed{\text{<mspace width=".2em"></mspace> (50)<mspace width=".2em"></mspace>}\text{<mspace width=".2em"></mspace> (51)<mspace width=".2em"></mspace>}\text{<mspace width=".2em"></mspace>(52) <mspace width=".2em"></mspace>}\text{<mspace width=".2em"></mspace>(53) <mspace width=".2em"></mspace>}}$通りある．また，着席位置は全部で$\boxed{\text{<mspace width=".2em"></mspace> (54)<mspace width=".2em"></mspace>}\text{<mspace width=".2em"></mspace> (55)<mspace width=".2em"></mspace>}\text{<mspace width=".2em"></mspace>(56) <mspace width=".2em"></mspace>}\text{<mspace width=".2em"></mspace> (57)<mspace width=".2em"></mspace>}\text{<mspace width=".2em"></mspace>(58) <mspace width=".2em"></mspace>}}$通りあり，このうちあなたがカウンターの一番左のいすに着席するものは$\boxed{\text{(59)}\text{(60)}\text{(61)}\text{(62)}}$通りある．

【４】　座標平面上の曲線$y=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3+x^2-{\displaystyle \frac{8}{3}}$を$F$とする．

(ⅰ)　曲線$F$の接線のうちで傾きが最大であるものを$l$とすると，$l$の方程式は

である．曲線$F$と直線$l$の接点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{(65)}},\boxed{\text{(66)}})$である．

(ⅱ)　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(67)}}}{\boxed{\text{(68)}}}}x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(69)}}}{\boxed{\text{(70)}}}}$を$G$とすると，曲線$G$の点$\mathrm{P}$における接線は$l$である．

(ⅲ)　曲線$F$と$G$は点$\mathrm{P}$以外に共有点$\mathrm{Q}(\boxed{\text{(71)}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(72)}}}{\boxed{\text{(73)}}}})$をもち，$F$と$G$で囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(74)}}}{\boxed{\text{(75)}}}}$である．

(ⅳ)　曲線$F\text{，}G$の概形および点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の位置を解答用紙Bの座標平面に描きなさい．ただし，曲線$F$は実線で，曲線$G$は点線で表すこと．