2011　上智大学　2月4日MathJax

【１】

(1)　(ⅰ)〜(ⅱ)のそれぞれの場合について，$3$つの実数$A\text{，}B\text{，}C$の大小関係を，下の選択肢から選べ．

(ⅰ)　$A=\sin 1\mathrm{°}\text{，}B=\tan 1\mathrm{°}\text{，}C=1-\cos 2\mathrm{°}$

(ⅱ)　$A={}_{150}C_{80}\text{，}B={}_{150}C_{81}\text{，}C={}_{151}C_{81}$

(ⅲ)　$A={\displaystyle \frac{10}{\pi }}\text{，}B=\sqrt{10}\text{，}C={\displaystyle \frac{1}{\tan 15\mathrm{°}}}$

選択肢：

• (a)　$A>B>C$
• (b)　$A>C>B$
• (c)　$B>A>C$
• (d)　$B>C>A$
• (e)　$C>A>B$
• (f)　$C>B>A$

【１】

(2)　$\tan \alpha =-\sqrt{7}\text{（}0\mathrm{°}<\alpha <180\mathrm{°}\text{）}$のとき

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$

である．

【１】

(3)　$a\text{，}b$は自然数で，${\displaystyle \frac{a^2}{b}}$の整数部分は$6\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$であり，${\displaystyle \frac{b^2}{a}}$は小数第$3$位にはじめて$0$でない数字が現れる$1$より小さい数である．このとき，$a$は$\boxed{\text{エ}}$桁または$\boxed{\text{オ}}$桁，$b$は$\boxed{\text{カ}}$桁である．ただし$\boxed{\text{エ}}<\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　実数$k$に対し，円$C:x^2+y^2+(k-1)x-ky-1=0$を考える．

(1)　円$C$の半径が最も小さくなるのは$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のときであり，その半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

(2)　円$C$の中心の軌跡は

$\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}}y+1=0$

である．

(3)　任意の実数$k$に対し，円$C$は必ず

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}})\text{，}(\boxed{\text{ツ}},\boxed{\text{テ}})\text{，}$

を通る．ただし${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}<\boxed{\text{ツ}}$である．$k=3$のとき，この$2$点における円の接線の交点は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}})$

である．

【３】　以下の問で，各人はじゃんけんでグー，チョキ，パーをそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で出すものとする．

(1)　$3$人でジャンケンを$1$回するとき，$1$人が勝ち$2$人が負ける確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\text{，}$あいこになる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

(2)　$3$人でジャンケンをする．負けた人がいれば，じゃんけんから抜け，$1$人の勝者が決まるか，じゃんけんの回数が$3$回になるまで繰り返す．じゃんけんの回数が$2$回以内で$1$人の勝者が決まる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\text{，}$ちょうど$3$回で$1$人の勝者が決まる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．

(3)　$4$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人が勝ち$3$人が負ける確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}\text{，}2$人が勝ち$2$人が負ける確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}\text{，}$あいこになる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$である．