2011　上智大学　2月5日MathJax

【１】

(1)　

${\log }_{10}x+{\log }_{10}y-{\log }_{10}(y+1)=1$

を満たす整数$x\text{，}y$に対して，

$x+y=\boxed{\text{ア}}$または$\boxed{\text{イ}}$

が成り立つ．ここで$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$

とする．

【１】

(2)　${(100.1)}^7$の$100$の位の数は$\boxed{\text{ウ}}$であり，小数第$4$位の数字は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

(3)　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BC}=8\text{，}\cos A={\displaystyle \frac{9}{40}}$であり，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とすると$\mathrm{AM}=5$である．このとき，

${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=\boxed{\text{オ}}\text{，}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}=\boxed{\text{カ}}$

である．したがって

$\mathrm{AB}=\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}\text{，}\mathrm{AC}=\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$

である．

【２】　$a$を実数とし，$2$つの放物線

$C:y=-x^2+4\text{，}{C}_a:y={(x-a)}^2+a$

を考える．

(1)　$C$と$C_a$が異なる$2$点で交わるための条件は，

$-a^2+\boxed{\text{サ}}a+\boxed{\text{シ}}>0$

であり，したがって

$\boxed{\text{ス}}<a<\boxed{\text{セ}}$

である．このとき

$b=\sqrt{-a^2+\boxed{\text{サ}}a+\boxed{\text{シ}}}$

とおくと，$(a,b)$は中心が$(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})$で，半径が$\boxed{\text{チ}}$の円周上にある．

(2)　$\boxed{\text{ス}}<a<\boxed{\text{セ}}$のとき，$C$と$C_a$との交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とすると，

$\alpha +\beta =\boxed{\text{ツ}}a+\boxed{\text{テ}}$

$2\alpha \beta =\boxed{\text{ト}}{a}^2+\boxed{\text{ナ}}a+\boxed{\text{ニ}}$

$\beta -\alpha =\boxed{\text{ヌ}}b+\boxed{\text{ネ}}$

である．

(3)　$C$と$C_a$により囲まれた図形の面積は，$a=\boxed{\text{ノ}}$のときに最大値$\boxed{\text{ハ}}$をとる．

【３】　ボタンを押すと，$0$と$1$のどちらか一方の数字を表示する機械がある．ボタンを連続して押すとき，直前に表示された数字と同じ数字が再び表示される確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$違う数字の表示される確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．ただし，始めにボタンを押すときには，$0$と$1$が表示される確率は等しい．

(1)　$4$回連続してボタンを押すとき，$4$回とも同じ数字が表示される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．また，$4$回目に表示された数字が$1$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

(2)　$4$回連続してボタンを押すときに表示される数字の合計が$1$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$である．また，合計が$2$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$である．

(3)　始めに表示された数字が$1$のとき，さらに$4$回連続してボタンを押して表示される$4$つの数字の合計が$2$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}$である．