2011　上智大学　2月6日MathJax

【１】

(1)　$\mathrm{X}$大学には$5$つの学部があり，凡ての学部で入学試験を行っている．次の$7$つの命題(A)〜(G)の中で，お互いに否定命題となっている全ての組を以下の選択肢から選べ．もし，否定命題となっている組で選択肢にないものが存在するときは，zもマークせよ．

(A)　$\mathrm{X}$大学のある学部の入学試験科目には，数学がある．

(B)　$\mathrm{X}$大学の学部の中で，入学試験科目に数学があるのはただ一つである．

(C)　$X$大学の全ての学部の入学試験科目には，数学がある．

(D)　$X$大学には，入学試験科目に数学がない学部がある．

(E)　$X$大学の全ての学部の入学試験科目には，数学がない．

(F)　$X$大学の学部の中で，入学試験科目に数学がないのはだた一つである．

(G)　$X$大学には，入学試験科目に数学がある学部とない学部の両方がある．

選択肢：

• 1.　(A)と(C)
• 2.　(A)と(D)
• 3.　(A)と(E)
• 4.　(A)と(G)
• 5.　(B)と(F)
• 6.　(B)と(G)
• 7.　(C)と(D)
• 8.　(C)と(E)
• 9.　(C)と(G)
• 10.　(D)と(E)
• 11.　(D)と(G)
• 12.　(E)と(F)

【１】

(2)　$f(0)=1\text{，}g(0)=2$を満たす$2$つの整式$f(x)\text{，}g(x)$に対して$p(x)=f(x)+g(x)\text{，}q(x)=f(x)g(x)$とおく．${\displaystyle \frac{d}{dx}}p(x)=3\text{，}{\displaystyle \frac{d}{dx}}q(x)=4x+k$であるとき，$k=\boxed{\text{ア}}$または$\boxed{\text{イ}}$である．ただし$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(3)　方程式$4^{x+1}+3\cdot 2^x-1=0$の解は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【２】　座標平面において，円$A$

$A:{(x-4)}^2+{(y+1)}^2=9$

および放物線$B$

$B:y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+1$

を考える．

(1)　$m$を実数とすると，直線$l:y=mx+m-1$は$m$の値によらずに点$(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$を通る．

(2)　$l$と円$A$との共有点の個数を$n_a\text{，}l$と放物線$B$との共有点の個数を$n_b$とする．$n_a+n_b=2$となるのは，$m<\boxed{\text{カ}}$または${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}<m<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$または$\boxed{\text{サ}}<m$のときである．

(3)　$m=\boxed{\text{カ}}$のとき$l$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{P}(\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{ス}})$であり，$m>\boxed{\text{サ}}$のとき$l$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{Q}(\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソ}})$である．

(4)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線の方程式は$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}x+\boxed{\text{ツ}}$であり，直線$\mathrm{PQ}$と放物線$B$とで囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{テ}}$である．

【３】　袋の中に赤玉$3$個，白玉$2$個，青玉$1$個が入っている．

(1)　袋から玉を$1$個取り出して，色を調べてからもとに戻すことを$2$回繰り返す．その結果，赤玉が$a$回，白玉が$b$回，青玉が$c$回出たとする．このとき，この結果を$(a,b,c)$と書く．

$\text{(ⅰ)}$　この結果として得られる$(a,b,c)$は$\boxed{\text{ト}}$通りある．

$\text{(ⅱ)}$　$(a,b,c)=(2,0,0)$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}(a,b,c)=(1,0,1)$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

$\text{(ⅲ)}$　$(a,b,c)$という結果に対し，得点$a+2b+3c$を与えることにすると，得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

(2)　袋から玉を$2$個取り出したとき，赤玉が$\alpha$個，白玉が$\beta$個，青玉が$\gamma$個出たとする．このとき，この結果を$(\alpha ,\beta ,\gamma )$と書く．

$\text{(ⅰ)}$　この結果として得られる$(\alpha ,\beta ,\gamma )$は$\boxed{\text{ヒ}}$通りである．

$\text{(ⅱ)}$　$(\alpha ,\beta ,\gamma )=(2,0,0)$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\text{，}(\alpha ,\beta ,\gamma )=(1,0,1)$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．

$\text{(ⅲ)}$　$(\alpha ,\beta ,\gamma )$という結果に対し，得点$\alpha +2\beta +3\gamma$を与えることにすると，得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}$である．