2011　上智大学　2月7日MathJax

【１】

(1)　

$\alpha ={\{{\left({\displaystyle \frac{413}{8}}\right)}^{\frac{1}{2}}+6\}}^{\frac{1}{3}}-{\{{\left({\displaystyle \frac{413}{8}}\right)}^{\frac{1}{2}}-6\}}^{\frac{1}{3}}$

は整数を係数とする$3$次方程式

$2x^3+\boxed{\text{ア}}{x}^2+\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}=0$

の解である．

【１】

(2)　$f(x)=x^3-4x$とする．曲線$y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}(t-1,f(t-1))\text{，}\mathrm{Q}(t+1,f(t+1))$をとる．線分$\mathrm{PQ}$が曲線$y=f(x)$と$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$以外の点で交わるための$t$の条件は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}<t<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．

【２】　座標平面上に曲線$C:y=-x^2$および，$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,-a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,-b^2)$（ただし$a<b$）を考える．$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l\text{，}\mathrm{B}$における$C$の接線を$m$とする．$2$直線$l\text{，}m$の交点を$\mathrm{P}(x,y)$とする．

(1)　$\mathrm{P}(x,y)$の各座標を$a\text{，}b$で表すと，

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}b\text{，}y=\boxed{\text{シ}}ab$

である．

(2)　$l$と$m$が直交するように$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{P}(x,y)$は常に

$\boxed{\text{ス}}x+\boxed{\text{セ}}y-1=0$

を満たす．

(3)　$\angle \mathrm{APB}=135\mathrm{°}$であるように$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{P}(x,y)$は常に

$\boxed{\text{ソ}}{x}^2+\boxed{\text{タ}}{(y+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}})}^2+1=0$

を満たし，$x=0$のとき$\mathrm{P}(0,y)$の$y$座標は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$

である．

【３】　$M$を$2$以上の整数とし，$0$から$M-1$までの各整数を書いたカードが$1$枚ずつ合計$M$枚，箱の中に入っているものとする．この箱の中から$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれている数を調べて箱に戻す試行を考える．

　この試行を$n$回行ったとき，箱から取り出した$n$枚のカードに書かれている数の和が偶数である確率を$P_n$で表す．

(1)　$M=2$のとき，$P_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

(2)　$M=3$のとき，

$P_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\text{，}{P}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$

である．また，

$P_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}$

である．

(3)　$M$が偶数のとき，

$P_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$

である．また$M$が奇数のとき，

$P_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{M}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}}}}$

である．