2011　上智大学　2月8日MathJax

【１】

(1)　$x>1$とする．

$\sqrt{{\log }_{2}x}>{\log }_2\sqrt{x}$

を満たす$x$の値の範囲は$\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(2)　$x$の関数

$y=\sqrt{2}(\sin x-\cos x)-\sin x\cos x+1(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．

(ⅰ)　$t=\sin x-\cos x$とおくと，

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}{t}^2+\sqrt{\boxed{\text{オ}}}t+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

が成り立つ．

(ⅱ)　$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\pi$で$y$は最大値$\boxed{\text{コ}}+\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$をとり，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\pi$で$y$は最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$をとる．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，放物線$F:y=x^2+1$および，点$\mathrm{A}(5,0)$を中心とする半径$4$の円$C$がある．$F$上に点$\mathrm{P}(t,t^2+1)\text{，}C$上に点$\mathrm{Q}(a,b)$をとる．

(1)　$\mathrm{P}$における放物線$F$の接線と直線$\mathrm{AP}$とが直交するとき，線分$\mathrm{AP}$の長さは$\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$である．

(2)　$\mathrm{Q}$を固定し，$\mathrm{P}$のみが動くとする．$▵\mathrm{OPQ}$の面積は$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}{\displaystyle \frac{b}{a}}$で最小値をとる．その最小値を$a$で表すと

${\displaystyle \frac{1}{8}}(\boxed{\text{ト}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{a}}+\boxed{\text{ニ}})$

である．

(3)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がともに動くとする．$▵\mathrm{OPQ}$の面積は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$で最小値

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$

をとる．

【３】　正$n$角形の頂点から同時に$3$点を選び，それらを頂点とする三角形を作る．ただし，どの$3$点が選ばれるかは同様に確からしいとする．

(1)　$n=6$のとき，三角形が直角三角形となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$である．

(2)　$n=8$のとき，三角形が鈍角三角形となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$である．

(3)　$n$が偶数のとき，三角形が直角三角形となる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{n+\boxed{\text{ヤ}}}}$

であり，三角形が鈍角三角形となる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}\left({\displaystyle \frac{n+\boxed{\text{ラ}}}{n+\boxed{\text{リ}}}}\right)$

である．

(4)　$n$が$6$の倍数のとき，三角形が正三角形以外の二等辺三角形となる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}(n+\boxed{\text{レ}})}{(n+\boxed{\text{ロ}})(n+\boxed{\text{ワ}})}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ロ}}>\boxed{\text{ワ}}$とする．