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2011-13363-0601
2011 上智大学 理工学部A方式
2月9日実施
易□ 並□ 難□
【1】(1) n を 2 以上の自然数とする. n-1 個の白玉と 1 個の赤玉が入っている箱がある.箱から 1 つの玉を取り出し,箱に戻す.これを n 回行うとき, n 回続けて白玉を取り出す確率を P n とする. Pn を求めよ.
(2) 関数
f⁡( x)= ( x -1x ) x
は, x≧2 で単調増加であることを示せ.
(3) n が 2 以上の自然数のとき,(1)の P n について次が成り立つことを示せ.
Pn< 2 5
2011-13363-0602
【2】 0<a< 1 とする.座標平面において,点 (a ,0) を中心とする半径 1 の円を C とする.
(1) 直線 y= k⁢x (ただし, k は定数)と円 C の交点を P , Q とし,その中点を R とする. k が実数全体を動くとき,点 R の描く曲線 A は次で与えられる.
(x + ア イ ⁢ a )2 + ウ ⁢ y2= ( ア イ ⁢ a)2 , (x,y )≠( 0,0)
(2) A に原点を付け加えた曲線を A 0 とする. A0 と C で囲まれた図形(つまり, A0 の外側かつ C の内側の部分)と, {( x,y) |x ≧0,y ≧0} との共通部分を D とする. D を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V ⁡(a ) は次で与えられる.
V⁡( a)= ( エ オ ⁢ a3 + カ ⁢ a2 + キ ⁢ a+ ク ケ )⁢π
(3) V⁡( a) は a= コ サ のとき,最大値
シ ス ⁢ (1 + セ ソ ) ⁢π
をとる.
2011-13363-0603
【3】 座標平面上に,点 A (5 ,1) と放物線 G: y=x2 と G 上の点 B (3 ,9) が与えられている.また, G 上を動く点 P (t ,t2 ) がある. A ,B を通る直線を l とし, A ,P を通る直線を m とする.
(1) l と G の交点で B と異なる点を C (a ,a2 ) とすると a = タ である.
(2) G の接線で A を通るものは 2 つあり,それらの接点のうち, x 座標の小さい方の点を D (b ,b2 ) とすると
b= チ - ツ ⁢ テ
である.
(3) a<t< 3 とする.三角形 ABC の面積は
ト ⁢ t2+ ナ ⁢ t+ ニ
(4) b<t< 3 とする.線分 AB , AP と G とで囲まれた図形の面積は
( 3-t) 6⁡ ( ヌ ⁢ t2+ ネ ⁢t + ノ )
(5) a<t< b とする. m と G の交点で P と異なる点を Q とする.線分 AB , AQ と G とで囲まれた図形の面積を S1 ,m と G とで囲まれた図形の面積を S 2 とする. S1 =S2 となるのは
t= ハ + ヒ ⁢ フ
のときである.
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【4】 1 辺の長さが 2 の立方体 ABCD ‐EFGH がある.
(1) 三角柱 AEF ‐DHG と三角柱 AEH ‐BFG との共通部分を X とする. X は ヘ 個の面と ホ 本の辺をもち,体積は マ ミ , 表面積は ム + メ ⁢ モ である.
(2) X と三角柱 ABD ‐EFH との共通部分を Y とする. Y は ヤ 個の面と ユ 本の辺をもち,体積は ヨ , 表面積は ラ + リ ⁢ ル である.