2011　上智大学　理工2月9日MathJax

【１】(1)　$n$を$2$以上の自然数とする．$n-1$個の白玉と$1$個の赤玉が入っている箱がある．箱から$1$つの玉を取り出し，箱に戻す．これを$n$回行うとき，$n$回続けて白玉を取り出す確率を$P_n$とする．$P_n$を求めよ．

(2)　関数

$f(x)={\left({\displaystyle \frac{x-1}{x}}\right)}^x$

は，$x\geqq 2$で単調増加であることを示せ．

(3)　$n$が$2$以上の自然数のとき，(1)の$P_n$について次が成り立つことを示せ．

$P_n<{\displaystyle \frac{2}{5}}$

【２】　$0<a<1$とする．座標平面において，点$(a,0)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．

(1)　直線$y=kx$（ただし，$k$は定数）と円$C$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，その中点を$\mathrm{R}$とする．$k$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{R}$の描く曲線$A$は次で与えられる．

${(x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}a)}^2+\boxed{\text{ウ}}{y}^2={({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}a)}^2\text{，}(x,y)\ne (0,0)$

(2)　$A$に原点を付け加えた曲線を$A_0$とする．$A_0$と$C$で囲まれた図形（つまり，$A_0$の外側かつ$C$の内側の部分）と，$\{(x,y)|x\geqq 0,y\geqq 0\}$との共通部分を$D$とする．$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V(a)$は次で与えられる．

$V(a)=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}{a}^3+\boxed{\text{カ}}{a}^2+\boxed{\text{キ}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}})\pi$

(3)　$V(a)$は$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$のとき，最大値

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}(1+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}})\pi$

をとる．

【３】　座標平面上に，点$\mathrm{A}(5,1)$と放物線$G:y=x^2$と$G$上の点$\mathrm{B}(3,9)$が与えられている．また，$G$上を動く点$\mathrm{P}(t,t^2)$がある．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$とし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線を$m$とする．

(1)　$l$と$G$の交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{C}(a,a^2)$とすると$a=\boxed{\text{タ}}$である．

(2)　$G$の接線で$\mathrm{A}$を通るものは$2$つあり，それらの接点のうち，$x$座標の小さい方の点を$\mathrm{D}(b,b^2)$とすると

$b=\boxed{\text{チ}}-\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$

である．

(3)　$a<t<3$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積は

$\boxed{\text{ト}}{t}^2+\boxed{\text{ナ}}t+\boxed{\text{ニ}}$

である．

(4)　$b<t<3$とする．線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AP}$と$G$とで囲まれた図形の面積は

${\displaystyle \frac{(3-t)}{6}}(\boxed{\text{ヌ}}{t}^2+\boxed{\text{ネ}}t+\boxed{\text{ノ}})$

である．

(5)　$a<t<b$とする．$m$と$G$の交点で$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AQ}$と$G$とで囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}m$と$G$とで囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$となるのは

$t=\boxed{\text{ハ}}+\boxed{\text{ヒ}}\sqrt{\boxed{\text{フ}}}$

のときである．

【４】　$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$がある．

(1)　三角柱$\mathrm{AEF}‐\mathrm{DHG}$と三角柱$\mathrm{AEH}‐\mathrm{BFG}$との共通部分を$X$とする．$X$は$\boxed{\text{ヘ}}$個の面と$\boxed{\text{ホ}}$本の辺をもち，体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}\text{，}$表面積は$\boxed{\text{ム}}+\boxed{\text{メ}}\sqrt{\boxed{\text{モ}}}$である．

(2)　$X$と三角柱$\mathrm{ABD}‐\mathrm{EFH}$との共通部分を$Y$とする．$Y$は$\boxed{\text{ヤ}}$個の面と$\boxed{\text{ユ}}$本の辺をもち，体積は$\boxed{\text{ヨ}}\text{，}$表面積は$\boxed{\text{ラ}}+\boxed{\text{リ}}\sqrt{\boxed{\text{ル}}}$である．