2011　東京理科大学　経営学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ト}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$は

${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}-{\displaystyle \frac{1}{\beta }}={\displaystyle \frac{4}{3}}\text{，}{\alpha }^2+{\beta }^2=1\text{，}\alpha \beta >0$

を満たす数とする．このとき，

$\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}{(\alpha +\beta )}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}{\beta }^3-{\alpha }^3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}$

である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ト}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　表の出る確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}$の特殊な硬貨を$5$回続けて投げる．$5$回目に，表が出て，かつ表の出た回数が$k$回になる確率を$P_k$とする（$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$）．このとき，

$P_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}}\text{，}{P}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}\text{ツ}}}}$

で，また，

$P_1+P_2+P_3+P_4+P_5={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．

【２】　$a$は実数で，$a>0$とする．座標平面において，円$C:{(x-a)}^2+y^2=9^2$に直線$l:y={\displaystyle \frac{4}{3}}x$が接している．

(1)　$a$の値を求めなさい．

(2)　円$C_1$は，$C$と異なる円で，その中心が$x$軸上にあり，$l$と$C$の両方に接しているとする．$C_1$の中心の座標と半径を求めなさい．

【３】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-s^{2}x+2s^2$

の，区間$0\leqq x\leqq 2$における最小値を$g(s)$とする．ただし，$s$は実数である．

(1)　$g(s)$を求めなさい．

(2)　関数$t=g(s)$のグラフをかきなさい．

【２】　関数

$f(x)={\cos }^{4}x+3{\sin }^{4}x$

について，次の問いに答えなさい．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数である．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めなさい．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で，方程式

$f^{\prime }(x)=0$

を解きなさい．

(3)　次の定積分を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|f^{\prime }(x)|dx$

【１】　座標平面上に円$C:{(x-7)}^2+{(y-5)}^2=9$と点$\mathrm{A}(1,2)$がある．点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$を$(1-a):a$に内分する点の軌跡を$D$とする．ただし，$a$は定数で$0<a<1$とする．

(1)　$D$の方程式を求めなさい．

(2)　$D$と円$C$が異なる$2$点で交わるような$a$の取りうる値の範囲を求めなさい．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲にあるとき，$D$と円$C$の異なる$2$つの交点を通る直線の方程式を求めなさい．

【２】　$a\text{，}b$は実数とし，行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 2b& a+b\end{array}\right)$

により定める．このとき，次の問いに答えなさい．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　数列$\{s_n\}\text{，}\{t_n\}$を

$\left(\begin{array}{c}{s}_n\\ t_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$

によって定める．一般項$s_n\text{，}{t}_n$を$n$と$a\text{，}b$で表しなさい．

(2)　数列$\{u_n\}\text{，}\{v_n\}$を

$\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$

によって定める．一般項$u_n\text{，}{v}_n$を$n$と$a\text{，}b$で表しなさい．

(3)　次を満たす数$\alpha \text{，}\beta$の値を求めなさい．

$\alpha \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

(4)　数列$\{w_n\}\text{，}\{x_n\}$を

$\left(\begin{array}{c}{w}_n\\ x_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

によって定める．一般項$w_n\text{，}{x}_n$を$n$と$a\text{，}b$で表しなさい．

【３】　箱$\mathrm{A}$の中には$1$から$m$までの番号が一つずつ記された$m$枚のカードが入っている．箱$\mathrm{B}$の中には$1$から$n$までの番号が一つずつ記された$n$枚のカードが入っている．ただし，$m\text{，}n$は自然数の定数で，$1<m<n$である．箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から，カードを$1$枚ずつ取り出し，記された番号を比較してから元の箱に戻す試行を考える．この試行において，$\mathrm{A}$から取り出したカードに記されている番号を$X\text{，}\mathrm{B}$から取り出したカードの記されている番号を$Y$とするとき，$X>Y$である確率を$p\text{，}X=Y$である確率を$q\text{，}X<Y$である確率を$r$とする．

(1)　$p\text{，}q\text{，}r$を$m\text{，}n$で表しなさい．

(2)　この試行を$k$回繰り返すとき，$k$回目にはじめて$X<Y$となる確率を$T_k$とする．$T_k$を$k\text{，}r$で表しなさい．

(3)　$T_k$は(2)と同じとする．すべての自然数$k$に対して$T_k=6{(1-r)}^{k+1}$であるとき，$m$と$n$の関係を求めなさい．

(4)　$T_k$は(2)と同じとする．$l$を自然数とするとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^l}{T}_k$

を$l\text{，}r$で表しなさい．