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2011-13442-0301
2011 東京理科大学 理工学部B方式
物理,生命科,経営工学科
2月5日実施
(1)〜(3)で配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章の ア から ヨ までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.
(1) 0≦θ≦ 2⁢π で定義された関数
f⁡( θ)= 8⁢sin 3⁡θ -3⁢cos ⁡2⁢θ -12⁢sin ⁡θ+7
は, θ= ア イ ⁢ π のときに最大値 ウ エ をとり, θ= オ カ ⁢ π , キ ク ⁢ π (順不同)のときに最小値 ケ コ をとる.
2011-13442-0302
(2) 以下の行列 A , P を考える.
A=( 11 6 2) ,P= ( 11 -23 )
(ⅰ)
P-1 = 1 サ ⁢ ( シ - ス セ ソ ) ,P- 1⁢A ⁢P=( - タ 0 0 チ )
である.
(ⅱ) x1 ,y1 を実数として,数列 { xn} ,{ yn} および { un} ,{ vn} を
( xn+ 1 yn+ 1 )= A⁢( xn yn ) ,( un vn )=P -1⁢ ( xn yn )( n= 1, 2 ,3 ,⋯)
によって定める.このとき,
un+ 1=- ツ ⁢ un , vn+ 1= テ ⁢ vn ( n= 1 ,2 ,3 ,⋯)
である. xn ,yn を u n ,vn で表すと,
xn= ト ⁢ un+ ナ ⁢ vn ,yn =- ニ ⁢ un + ヌ ⁢ vn
であるから,たとえば, xn= 1 ,yn =-2 のときには, limn →∞ ⁡ x nyn =- ネ ノ であり, x1 =2 ,y 1=1 のときには, limn →∞ ⁡ x nyn = ハ ヒ である.
2011-13442-0303
(3) 整数 l , m ,n についての連立方程式
7⁢l =4⁢ m+3 ⋯① l⁢m =139 -28⁢n 2+l+ m⋯ ②
を考える.まず ① を満たす整数 l , m は必ず,ある整数 k を用いて
l= フ ⁢ k+1 m= ヘ ⁢ k+ ホ
と表される.逆に,この形で書ける l , m は ① を満たしている.これらを ② に代入することにより, ① ,② を満たす整数の組 ( l,m, n) は全部で マ 通りあることがわかる.そのうち l , m ,n のすべてが正であるものは 2 通りあり, (l, m,n) =( ミ , ム , メ ) ,( モ , ヤ ユ , ヨ ) である.
2011-13442-0304
配点30点
【2】 関数 f⁡ (x) を
f⁡( x)= x+( 1+x) ⁢log⁡( 1+x) ( x≧0 )
と定める. log は自然対数を表す.
(1) f′⁡ (x ), f″⁡ (x ) を計算し, 0≦x≦ 1 における関数 f⁡ (x ) の増減および曲線 y =f⁡( x) の凹凸を調べよ.ここで, f′ ⁡(x ), f″ ⁡( x) は,それぞれ f ⁡(x ) の第 1 次導関数および第 2 次導関数を表す.
(2) xy 平面において,曲線 y= f⁡( x) ,x 軸および直線 x= 1 で囲まれた図形の面積を求めよ.
n=1 ,2 ,3 ,⋯ に対して,関数 f n⁡( x) を
fn⁡ (x) =n⁢x n+ (1+ xn ) n⁢log⁡ ( 1+ xn )n ( x≧ 0)
と定める. xy 平面において,曲線 y= fn⁡ (x) ,x 軸および直線 x =1 で囲まれた図形の面積を S n とおく.
(3) limn→ ∞⁡ Sn を求めよ.
ただし, limn→ ∞⁡ ( 1+ 1n )n =e を用いてよい. e は自然対数の底である.
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30点
【3】 2 次の多項式 P⁡ (x) ,Q⁡ (x ), R⁡( x) をそれぞれ
P⁡( x)= 1 2⁢ ( x2-x ), Q⁡( x)= -x2 +1 ,R⁡( x)= 12 ⁢( x2+ x)
とおく.
(1) 0≦x≦ 1 において P⁡ (x) ,Q⁡ (x ), R⁡( x) がとり得る値の範囲をそれぞれ求めよ.
(2) f⁡( x) が 2 次以下の多項式ならば,恒等式
f⁡( x)= f⁡( -1) ⁢P⁡( x)+ f⁡( 0)⁢ Q⁡( x)+ f⁡( 1)⁢ R⁡( x)
が成り立つことを示せ.
さて a , b ,c を実数として, f⁡( x)= a⁢P⁡ (x) +b⁢Q ⁡(x )+c ⁢R⁡( x) とする. a ,b ,c を次の条件を満たすように動かす.
(条件) { 0≦f⁡ (-1 )≦1 0≦ f⁡( 0)≦ 10 ≦f⁡( 1)≦ 1
このとき, xy 平面において関数 y= f⁡( x) のグラフが通ることのできる部分を D とおく.
(3) xy 平面において, D のうち x 座標が 0≦ x≦1 の範囲にある部分の面積を求めよ.