2011　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヨ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とし，$A\text{，}B\text{，}E\text{，}O$を次の行列とする．

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -3& -5\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ -6& -7\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

(ⅰ)　$A^2=O$となるのは，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$のときである．

(ⅱ)　${(A+B)}^2=O$かつ${(A-B)}^2=E$となるのは，

$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}c=\boxed{\text{ケ}}\text{，}d={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

のときである．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヨ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$4$次の多項式$f(x)$は，$x^2-5x+6$で割ると$6x-23$余り，$x^2-2x+3$で割ると$-9x+28$余る．さらに$f(x)$の$x=1$での微分係数$f^{\prime }(1)$は$-9$である．この$f(x)$を求めよう．

　まず，$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$であることから，

$f(2)=-\boxed{\text{ス}\text{セ}}\text{，}f(3)=-\boxed{\text{ソ}}$

が得られる．

　一方，$f(x)$は$a\text{，}b\text{，}c$を定数として

$f(x)=(a{x}^2+bx+c)(x^2-2x+3)+(-9x+28)$

と表される．このとき，$f^{\prime }(1)=-9$より$2a+b=\boxed{\text{タ}}$となる．

　以上より，

$a=\boxed{\text{チ}}\text{，}b=-\boxed{\text{ツ}}\text{，}c=-\boxed{\text{テ}}$

と決まる．よって，

$f(x)=\boxed{\text{ト}}{x}^4-\boxed{\text{ナ}}{x}^3+\boxed{\text{ニ}}{x}^2-\boxed{\text{ヌ}}x+\boxed{\text{ネ}}$

であることがわかる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヨ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　平面上の$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$について

$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=5\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=6\text{，}$$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|=7\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}>0$

とする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角${\theta }_1\text{（}0\leqq {\theta }_1\leqq \pi \text{）}$は$\cos {\theta }_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$を満たす．また$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\boxed{\text{ヒ}}$であるので，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角${\theta }_2\text{（}0\leqq {\theta }_2\leqq \pi \text{）}$は$\cos {\theta }_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$を満たす．$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}>0$に注意することで，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}+\boxed{\text{ミ}}\sqrt{2}$であることがわかる．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面において，放物線$C:y=x^2$と，$2$点$\mathrm{A}(0,-2)\text{，}\mathrm{P}(1,1)$を通る直線$l$を考える．また，$C$と$l$の共有点のうち，$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．また，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OPQ}$の外接円$C^{\prime }$の方程式と，円$C^{\prime }$の中心の座標および半径を求めよ．

(3)　放物線$C$と(2)で求めた円$C^{\prime }$の共有点のうち，$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$以外の点の座標を求めよ．

【３】　関数$f(x)=\sqrt{x}{e}^x\text{（}x>0\text{）}$および$xy$平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．ここで，$e$は自然対数の底である．

　$xy$平面上に座標が$(1,0)$の点${\mathrm{P}}_0$をとり，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し点${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n$を以下のように定める．$x$軸上の点${\mathrm{P}}_{n-1}$が定まったとき，${\mathrm{P}}_{n-1}$から$C$に引いた接線の接点を${\mathrm{Q}}_n$とし，${\mathrm{Q}}_n$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を${\mathrm{P}}_n$とする．また，$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$x_n$とおく．

(1)　曲線$C$と$x$軸および$2$直線$x=a\text{，}x=b\text{（}0<a<b\text{）}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$b>0$に対し，点$(b,f(b))$における接線$l$の方程式を求めよ．また，$l$と$x$軸との交点の$x$座標を$a$としたとき，$b-a$を$b$を用いて表せ．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$x_n-x_{n-1}$を$x_n$を用いて表し，$x_n-x_{n-1}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$を示せ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n-x_{n-1})$を求めよ．

(4)　$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$に対し，三角形${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_n$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_n$とし，曲線$C$と$x$軸および$2$線分${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{Q}}_{n-1}\text{，}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$W_n$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{W_n}{V_n}}$を求めよ．