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2011-13442-0801
2011 東京理科大学 基礎工学部B方式
2月10日実施
17点
易□ 並□ 難□
【1】 2 次関数 f⁡ (x) =9⁢ x2-6 ⁢x+7 を考える.
(1) 放物線 y= f⁡( x) の軸は x= ア イ , 頂点は ( ウ エ , オ ) である.
(2) 放物線 y= f⁡( x) を x 軸方向に 1 , y 軸方向に -8 だけ平行移動して得られる曲線は
y= カ ⁢ x2- キク ⁢ x+ ケコ
という式で表される.
(3) 2 次方程式 f⁡ (x) =0 は虚数解
サ ± シ ⁢i ス
をもつ(ただし, i は虚数単位を表す).これらの虚数解を α , β ( α≠β ) とおくとき, α+2 , β+2 を解にもつ 2 次方程式は
セ ⁢ x2- ソタ ⁢ x+ チツ =0
と書くことができる.
2011-13442-0802
16点
【2】 座標平面上のベクトル a →= (3, 1) ,b→ =(1 ,5) を考える.
(1) a→ , b→ の大きさはそれぞれ
| a→ |= アイ , | b→ |= ウエ
であり, a→ と b → のなす角を θ とおくと,
cos⁡θ = オ カキ ⁢ クケ
である.
(2) c→ は c →= b→+ k⁢a→ ( k は実数)で表されるベクトルで, a→ に垂直であるものとする.このとき,
k=- コ サ
であり, c→ を成分表示すると
c→ =( - シ ス , セソ タ )
となる.
(3) c→ を(2)で求めたベクトルとする.ベクトル d →= (4, - 13 ) を d→= m⁢a →+n ⁢c→ ( m , n は実数)の形で表すと,
d→ = チ ツ ⁢ a →- テ トナ ⁢ c →
2011-13442-0803
【3】 x を実数として
y=3⁢ sin⁡2⁢ x+2⁢ cos⁡2⁢ x
とおく.
(1) x= π12 のとき, y= ア イ + ウ ,
x= 56⁢ π のとき, y= エ - オ カ ⁢ キ
(2) x が tan⁡ x=6 を満たすとき,
cos2⁡ x= ク ケ ,sin⁡x ⁢cos⁡x = コ サ
となるから,
y= シ ⁢ ス - セソ タ
(3) x が実数全体を動くとき, y のとり得る値の範囲は
- チツ ≦y≦ テト
2011-13442-0804
25点
【4】 関数 f⁡ (x) ,g⁡ (x) を
f⁡( x)= 4 x ,g⁡( x)= -1 10⁢ x 2+x+ 25
と定め,座標平面上の曲線 C 1:y= f⁡( x) , 曲線 C 2:y= g⁡( x) を考える.
(1) 2 つの曲線 C 1 ,C2 は第 1 象限において, 2 つの共有点をもつ.その 1 つは点 ( 2,2 ) である.もう 1 つの共有点の x 座標を求めよ.
(2) 曲線 C 1 上の点 (2 ⁢3 ,f ⁡(2 ⁢3 )) における接線を l とする.曲線 C 2 上の点で,その点での接線が l と平行となるものが 1 つある.その点を P とおく.点 P の x 座標を求めよ.
ここで,第 1 象限において 2 つの曲線 C 1 ,C2 で囲まれた図形を D とおく.ただし, D は境界を含むものとする.また,以下において,対数は自然対数とする.
(3) 図形 D の面積を求めよ.
(4) n=2 ,4 ,6 ,8 ,10 として,座標平面上に 5 つの点 (n ,log⁡n ) を考える.この 5 つの点のうち図形 D 内に含まれるものをすべて求めよ.これを解くにあたって,以下の数値を用いよ.
log⁡2= 0.693 ,log⁡3 =1.099 ,log5= 1.609
2011-13442-0805
【5】 右図で,三角形 ABC は AB= AC である二等辺三角形である.辺 BC の長さを l とおく.また, BC を底辺とするときの高さを h とおく.辺 AB 上の点 B1 , AC 上の点 C1 , BC 上の点 P1 , Q 1 を四角形 B1 P1 Q1 C 1 が正方形となるようにとる.正方形 B1 P1 Q 1C 1 の 1 辺の長さを a 1 とする.
(1) a1 を l , h の式で書け.
次に, AB 1 上の点 B 2 ,A C1 上の点 C 2 ,B 1C 1 上の点 P2 , Q 2 を四角形 B2 P2 Q 2C 2 が正方形となるようにとり,正方形 B2 P2 Q2 C2 の 1 辺の長さを a 2 とする.
(2) a2 を l , h の式で書け.
続けて a 1 ,a2 と同様にして, n=3 ,4 ,⋯ に対して, A Bn -1 上の点 Bn , A C n-1 上の点 Cn , B n-1 C n-1 上の点 Pn , Qn を四角形 Bn Pn Qn Cn が正方形となるようにとり,正方形 Bn Pn Qn Cn の 1 辺の長さを a n とする.
(3) a nan -1 を l , h の式で書け.
(4) an を l , h ,n の式で書け.
(5) l=6 ,h=4 とする.正方形 Bn Pn Qn Cn の面積を b n とするとき, ∑k =1∞ ⁡b k の値を求めよ.