2011　東京理科大学　基礎工B2月10日MathJax

【１】　$2$次関数$f(x)=9x^2-6x+7$を考える．

(1)　放物線$y=f(x)$の軸は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$頂点は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}},\boxed{\text{オ}})$である．

(2)　放物線$y=f(x)$を$x$軸方向に$1\text{，}y$軸方向に$-8$だけ平行移動して得られる曲線は

$y=\boxed{\text{カ}}{x}^2-\boxed{\text{キク}}x+\boxed{\text{ケコ}}$

という式で表される．

(3)　$2$次方程式$f(x)=0$は虚数解

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{シ}}}i}{\boxed{\text{ス}}}}$

をもつ（ただし，$i$は虚数単位を表す）．これらの虚数解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha \ne \beta \text{）}$とおくとき，$\alpha +2\text{，}\beta +2$を解にもつ$2$次方程式は

$\boxed{\text{セ}}{x}^2-\boxed{\text{ソタ}}x+\boxed{\text{チツ}}=0$

と書くことができる．

【２】　座標平面上のベクトル$\overrightarrow{a}=(3,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,5)$を考える．

(1)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の大きさはそれぞれ

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\boxed{\text{アイ}}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}$

であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とおくと，

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}\sqrt{\boxed{\text{クケ}}}$

である．

(2)　$\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{a}$（$k$は実数）で表されるベクトルで，$\overrightarrow{a}$に垂直であるものとする．このとき，

$k=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

であり，$\overrightarrow{c}$を成分表示すると

$\overrightarrow{c}=(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}})$

となる．

(3)　$\overrightarrow{c}$を(2)で求めたベクトルとする．ベクトル$\overrightarrow{d}=(4,-{\displaystyle \frac{1}{3}})$を$\overrightarrow{d}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{c}$（$m\text{，}n$は実数）の形で表すと，

$\overrightarrow{d}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{トナ}}}}\overrightarrow{c}$

となる．

【３】　$x$を実数として

$y=3\sin 2x+2\cos 2x$

とおく．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$のとき，$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}+\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}\text{，}$

$x={\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$のとき，$y=\boxed{\text{エ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$

である．

(2)　$x$が$\tan x=\sqrt{6}$を満たすとき，

${\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}\sin x\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

となるから，

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}-\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

となる．

(3)　$x$が実数全体を動くとき，$y$のとり得る値の範囲は

$-\sqrt{\boxed{\text{チツ}}}\leqq y\leqq \sqrt{\boxed{\text{テト}}}$

である．

【４】　関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{4}{x}}\text{，}g(x)=-{\displaystyle \frac{1}{10}}{x}^2+x+{\displaystyle \frac{2}{5}}$

と定め，座標平面上の曲線$C_1:y=f(x)\text{，}$曲線$C_2:y=g(x)$を考える．

(1)　$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$は第$1$象限において，$2$つの共有点をもつ．その$1$つは点$(2,2)$である．もう$1$つの共有点の$x$座標を求めよ．

(2)　曲線$C_1$上の点$(2\sqrt{3},f(2\sqrt{3}))$における接線を$l$とする．曲線$C_2$上の点で，その点での接線が$l$と平行となるものが$1$つある．その点を$\mathrm{P}$とおく．点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．

　ここで，第$1$象限において$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれた図形を$D$とおく．ただし，$D$は境界を含むものとする．また，以下において，対数は自然対数とする．

(3)　図形$D$の面積を求めよ．

(4)　$n=2\text{，}4\text{，}6\text{，}8\text{，}10$として，座標平面上に$5$つの点$(n,\log n)$を考える．この$5$つの点のうち図形$D$内に含まれるものをすべて求めよ．これを解くにあたって，以下の数値を用いよ．

$\log 2=0.693\text{，}\log 3=1.099\text{，}\log 5=1.609$

【５】　右図で，三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形である．辺$\mathrm{BC}$の長さを$l$とおく．また，$\mathrm{BC}$を底辺とするときの高さを$h$とおく．辺$\mathrm{AB}$上の点${\mathrm{B}}_1\text{，}\mathrm{AC}$上の点${\mathrm{C}}_1\text{，}\mathrm{BC}$上の点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_1$を四角形${\mathrm{B}}_1{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{C}}_1$が正方形となるようにとる．正方形${\mathrm{B}}_1{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{C}}_1$の$1$辺の長さを$a_1$とする．

(1)　$a_1$を$l\text{，}h$の式で書け．

　次に，$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1$上の点${\mathrm{B}}_2\text{，}\mathrm{A}{\mathrm{C}}_1$上の点${\mathrm{C}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$上の点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_2$を四角形${\mathrm{B}}_2{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{C}}_2$が正方形となるようにとり，正方形${\mathrm{B}}_2{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{C}}_2$の$1$辺の長さを$a_2$とする．

(2)　$a_2$を$l\text{，}h$の式で書け．

　続けて$a_1\text{，}{a}_2$と同様にして，$n=3\text{，}4\text{，}\cdots$に対して，$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_{n-1}$上の点${\mathrm{B}}_n\text{，}\mathrm{A}{\mathrm{C}}_{n-1}$上の点${\mathrm{C}}_n\text{，}{\mathrm{B}}_{n-1}{\mathrm{C}}_{n-1}$上の点${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n$を四角形${\mathrm{B}}_n{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{C}}_n$が正方形となるようにとり，正方形${\mathrm{B}}_n{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{C}}_n$の$1$辺の長さを$a_n$とする．

(3)　${\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}$を$l\text{，}h$の式で書け．

(4)　$a_n$を$l\text{，}h\text{，}n$の式で書け．

(5)　$l=6\text{，}h=4$とする．正方形${\mathrm{B}}_n{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{C}}_n$の面積を$b_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{b}_k$の値を求めよ．