2011　東京理科大学　薬B2月11日MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内のアからコにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．ただし$\boxed{}$は$2$桁の数を表す．

(1)　ある$2$桁の正の整数$m$を$2$乗すると，下$2$桁が$36$になるという．この条件を満たす$m$を小さい順に並べると$\boxed{\text{ア}\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}\text{カ}}$である．

(2)　ある$2$桁の正の整数$n$を$3$乗すると，下$2$桁が$36$になるという．この条件を満たす$n$を小さい順に並べると$\boxed{\text{キ}\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}\text{コ}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$内のサからツにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．

　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を考える．その円上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとり，

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

とおく．$\angle \mathrm{AOB}=\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とする．

(1)　すべての実数$t$について

$|(1-t)\overrightarrow{a}+2t\overrightarrow{b}|\geqq 1$

が成立するという．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．また，$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\pi$である．

(2)　すべての実数$t$について

$|(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdots$(＊)

が成立するという．すべての実数$t$について(＊)が成立するための必要十分条件は

$(\boxed{\text{ソ}}\cos \theta +1)(\boxed{\text{タ}}\cos \theta -1)\leqq 0$

が成立することである．したがって，すべての実数$t$について(＊)が成立するための必要十分条件は，$\theta$が

$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\pi$

を満たすことである．

【３】　次の$\boxed{}$内のテからマにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．

(1)　角度${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$に対する正弦および余弦はわかっているので，加法定理を用いると

$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{4}}\text{，}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}+\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{4}}$

となる．ただし，$\boxed{\text{ナ}}>\boxed{\text{ニ}}$とする．

(2)　$\angle A={\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\text{，}\angle B={\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\text{，}\angle C={\displaystyle \frac{\pi }{5}}$で$\mathrm{AB}=1$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\angle A$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}=\boxed{\text{ヌ}}$となる．$\mathrm{AC}=x\text{，}\mathrm{BD}=y$とおく．$▵\mathrm{CAB}$と$▵\mathrm{ABD}$は相似であるから，$xy=\boxed{\text{ネ}}$とわかる．また，$x-y=\boxed{\text{ノ}}$だから，$x$を求めると$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}{\boxed{\text{フ}}}}$となる．以上より$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{10}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}-\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$が得られる．

【４】　次の$\boxed{}$内のミからルにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．

　$xy$平面上に，放物線$C_1:y=x^2$と，点$\mathrm{P}(0,t)\text{（}t>1\text{）}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_1$と$C_2$がちょうど$2$個の共有点をもつと仮定する．

(1)　$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}$である．

(2)　$2$つの共有点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{PR}$と放物線$C_1$で囲まれた部分の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}$

であり，放物線$C_1$と円$C_2$で囲まれた部分の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ラ}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}}}}\pi$

である．