2011 東京理科大学 理学部B方式2月13日実施MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2011 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(2),(3)と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.また,   内の(あ)から(お)には,解答群の中からあてはまるものを選び,その番号を解答用マークシートにマークせよ.ただし, 2 けた の数を表す.また, は既出の を表す.

(1)  1 と書かれたカード, 10 と書かれたカード, 100 と書かれたカードの 3 種類のカードがある.与えられた自然数 m に対し,これらの 3 種類のカードから何枚か選んで,選ばれたカードに書かれた数字の合計がちょうど m になるようにする方法について考える.ただし,それぞれの種類のカードは何枚でも使用できるものとする.

 たとえば, m=11 とすると,そのようにカードを選ぶ方法は,

1 と書かれたカードを 1 枚と, 10 と書かれたカードを 1 枚選ぶ」

か,または

1 と書かれたカードを 11 枚選ぶ」

かの 2 通りである.次の問いに答えよ.

(a) 合計がちょうど 100 になるようにカードを選ぶ方法は 通りある.

(b) 自然数 n に対して,合計がちょうど 100 n になるようにカードを選ぶ方法が a n 通りあるとする. n2 のとき,この方法のうちで, 100 と書かれたカードを少なくとも 1 枚使用するような方法は an- 通りあるので,

an= an- + n+ n 2

が成り立つ.よって a n= n 2+ n + となる.

2011 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1),(3)と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.また,   内の(あ)から(お)には,解答群の中からあてはまるものを選び,その番号を解答用マークシートにマークせよ.

(2)  A B は実数を成分とする 2 次の正方行列とし, O E はそれぞれ 2 次の零行列,単位行列とする.

 次の (あ) (お) にあてはまるものを,下の1〜4のうちから 1 つずつ選べ.ただし,同じ者を繰り返し選んでもよい.

(a)  A=O A 2=O であるための (あ)

(b)  AB= O B A=O であるための (い)

(c)  AB= E B A=E であるための (う)

(d) すべての自然数 n に対して A nO であることは, A の逆行列が存在するための (え)

(e)  An= E となる自然数 n が存在することは, A の逆行列が存在するための (お)

(あ),(い),(う),(え),(お)の解答群

1 必要十分条件である

2 必要条件であるが,十分条件でない

3 十分条件であるが,必要条件でない

4 必要条件でも十分条件でもない

2011 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1),(2)と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.

(3) 以下で対数は自然対数とする.

(a)  xlog xd x= 1 x logx- 1 x +C C は積分定数)

2011 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1),(2)とあわせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.

(3) 以下で対数は自然対数とする.

(b)  x>0 のとき,不等式 log x<x が成り立つ.この不等式で x の代わりに x を代入した不等式を利用すると, limx log xx = が得られる.また,これより limx +0 xlog x= も得られる.

2011 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1),(2)とあわせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.

(3)

(c)  ab (x- a) (x-b )d x=- (b -a)

2011 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

配点35点

易□ 並□ 難□

【2】 数列 { an }

a1= 7 3 an +1= ( an-2 )2 +2 n=1 2 3

により定める.また,自然数 n に対し,関数 fn (x ) gn (x )

fn (x) =x2 +(1 -2a n) x+an 2- an+1 gn (x )= |f n( x) |

と定める.次の問いに答えよ.

(1) 方程式 f n( x)= 0 2 とは異なる解 b n をもつ. bn a n を用いて表せ.

(2) 一般項 a n および lim n a n lim n b n を求めよ.

(3)  bn 2 ではどちらが大きいか,理由も含めて答えよ.

(4) 正の実数 t に対して, lt は直線 y= -t (x- 2) を表すとする.

(a) 直線 l t と曲線 y= gn (x ) の共有点が,すべての自然数 n に対して 2 個であるという. t の値の範囲を求めよ.

(b) (a)で求めた範囲における t の最小値を T とする.直線 l T と曲線 y =gn (x ) で囲まれた部分の面積を S n とするとき, Sn b n を用いて表せ.また, limn Sn を求めよ.必要ならば【1】(3)の結果を使ってもよい.

2011 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

配点35点

易□ 並□ 難□

2011年東京理科大理学部2月13日【3】の図

【3】  O を原点とする座標空間内に 3 A (1 ,0,0 ) B( 0,1, 0) C (0 ,0,1 ) があり,右図のように,実数 u 0 u1 に対して, 2 P (u ,0,0 ) Q (0 ,1-u ,u) をとる.次の問いに答えよ.

(1) 実数 t 0 t1 に対して,線分 PQ t: (1- t) に内分する点を R (x ,y,z ) とする.ただし, t=0 1 のとき,点 R はそれぞれ点 P Q であるとする.

(a)  x y z u t を用いて表せ.

(b)  z0 のとき, y x z のみの( u t を含まない)式で表せ.

(c) (b)で求めた式を f (x, z) とし,実数 c 0<c 1 に対して, g( x)= f( x,c ) とおく. xy 平面上の曲線 y =g (x ) x0 x 軸および y 軸で囲まれた部分の面積を S とおくとき, S c を用いて表せ.ただし, c=1 のときは S =0 とする.

(2)  u 0 から 1 まで動くとき,点 P O から A まで,点 Q B から C まで動き,線分 PQ が通過してできる図形は,ある曲面になる.この曲面と y z 平面および z x 平面で囲まれた立体 K の体積 V を計算しよう.

 (1)(c)で求めた S は, z 軸に垂直な平面 z= c による立体 K の切り口の面積である.実数 h 0< h<1 に対して, K のうち 2 平面 z =h z= 1 の間にある部分の体積を v (h ) とするとき, K の体積 V は, V=lim h+ 0 v( h) により計算される. V の値を求めよ.必要ならば【1】(3)の結果を使ってもよい.

inserted by FC2 system