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【1】 次の(1)から(3)において,内のカタカナにあてはまるからまでの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.また,内の(あ)から(お)には,解答群の中からあてはまるものを選び,その番号を解答用マークシートにマークせよ.ただし,はの数を表す.また,は既出のを表す.
(1) と書かれたカード,と書かれたカード,と書かれたカードの種類のカードがある.与えられた自然数に対し,これらの種類のカードから何枚か選んで,選ばれたカードに書かれた数字の合計がちょうどになるようにする方法について考える.ただし,それぞれの種類のカードは何枚でも使用できるものとする.
たとえば,とすると,そのようにカードを選ぶ方法は,
「と書かれたカードを枚と,と書かれたカードを枚選ぶ」
か,または
「と書かれたカードを枚選ぶ」
かの通りである.次の問いに答えよ.
(a) 合計がちょうどになるようにカードを選ぶ方法は通りある.
(b) 自然数に対して,合計がちょうどになるようにカードを選ぶ方法が通りあるとする.のとき,この方法のうちで,と書かれたカードを少なくとも枚使用するような方法は通りあるので,
が成り立つ.よってとなる.
【1】 次の(1)から(3)において,内のカタカナにあてはまるからまでの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.また,内の(あ)から(お)には,解答群の中からあてはまるものを選び,その番号を解答用マークシートにマークせよ.
(2) は実数を成分とする次の正方行列とし,はそれぞれ次の零行列,単位行列とする.
次の〜にあてはまるものを,下の1〜4のうちからつずつ選べ.ただし,同じ者を繰り返し選んでもよい.
(a) はであるための.
(b) はであるための.
(c) はであるための.
(d) すべての自然数に対してであることは,の逆行列が存在するための.
(e) となる自然数が存在することは,の逆行列が存在するための.
(あ),(い),(う),(え),(お)の解答群
1 必要十分条件である
2 必要条件であるが,十分条件でない
3 十分条件であるが,必要条件でない
4 必要条件でも十分条件でもない
【3】 を原点とする座標空間内に点があり,右図のように,実数に対して,点をとる.次の問いに答えよ.
(1) 実数に対して,線分をに内分する点をとする.ただし,のとき,点はそれぞれ点であるとする.
(a) をとを用いて表せ.
(b) のとき,をとのみの(,を含まない)式で表せ.
(c) (b)で求めた式をとし,実数に対して,とおく.平面上の曲線と軸および軸で囲まれた部分の面積をとおくとき,をを用いて表せ.ただし,のときはとする.
(2) がからまで動くとき,点はからまで,点はからまで動き,線分が通過してできる図形は,ある曲面になる.この曲面と平面および平面で囲まれた立体の体積を計算しよう.
(1)(c)で求めたは,軸に垂直な平面による立体の切り口の面積である.実数に対して,のうち平面の間にある部分の体積をとするとき,の体積は,により計算される.の値を求めよ.必要ならば【1】(3)の結果を使ってもよい.