2011　東京理科大学　理学部数学科2月12日実施MathJax

【１】　楕円$C:{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$を考える．

(1)　楕円$C$の外部の点$\mathrm{P}(X,Y)$を通り，傾き$m$の直線が，楕円$C$と接するための必要十分条件を$X\text{，}Y\text{，}m$の式で表せ．

(2)　楕円$C$の外部に点$\mathrm{P}(X,Y)$があり，$\mathrm{P}$から$C$へ引いた$2$接線が垂直であるように$\mathrm{P}$が動く．

(a)　$\mathrm{P}$が$x$軸の正の部分にあるときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(b)　$\mathrm{P}$が$y$軸の正の部分にあるときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(c)　点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．

(d)　点$\mathrm{P}(X,Y)$に対し，${\mathrm{P}}^{\prime }(-X,-Y)$を考える．${\mathrm{P}}^{\prime }$から引いた$2$接線の傾きは$\mathrm{P}$から引いた$2$接線の傾きとそれぞれ一致することを示せ．

(e)　$\mathrm{P}$から$2$接線$L_1\text{，}{L}_2\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }$から$2$接線$K_1\text{，}{K}_2$を引く．ただし$L_1$と$K_1\text{，}{L}_2$と$K_2$はそれぞれ平行にとる．$L_1$と$K_2$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$L_2$と$K_1$の交点を${\mathrm{Q}}^{\prime }$とする．$L_1\text{，}{L}_2\text{，}{K}_1\text{，}{K}_2$で囲まれる四辺形$\mathrm{P}\mathrm{Q}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$を考える（図を参考にせよ）．$\mathrm{P}\mathrm{Q}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$は長方形であることを示し，対角線$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }$の長さを求めよ．

(f)　楕円$C$の点$(2\cos \theta ,\sin \theta )$での接線を$L$とする．(c)で求めた軌跡と$L$の$2$交点を結ぶ線分の長さの$2$乗を$f(\theta )$とおく．$f(\theta )$を$\theta$で表し，$f(\theta )$の最大値，最小値を求めよ．

(g)　(e)で定めた長方形$\mathrm{P}\mathrm{Q}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$の面積の最大値を求めよ．

【２】　$f(x)=x{2}^{-x^2}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$の変曲点をすべて求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$の各変曲点での接線の方程式を求めよ．

(5)　凹凸と対称性に注意して，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(6)　正の実数$t$に対し，$F(t)={\displaystyle {\int }_0^t}f(x)dx$を求めよ．

(7)　(6)で求めた$F(t)$に対し，$\underset{t\to \infty }{\lim }F(t)$を求めよ．