2011 東京理科大学 数情2月13日MathJax

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2011 東京理科大学 理学部

数理情報学科B方式

2月13日実施

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 実数 x に対し, [x ] x 以下の最大の整数を表す.次の問いに答えよ.

(1)  k t を自然数とするとき, [k ]=t となるような k のとり得る値の範囲を, t を用いた不等式で表せ.

(2)  n を自然数とし,和

k=1 n 12 [k ]+1

が自然数となるような n の値を,小さい順に並べて, a1 a2 a3 と定める.

(a)  a1 a2 の値を求めよ.

(b) 自然数 m に対して, am および

k=1 am 1 2[ k] +1

m を用いて表せ.

(3)  limn 1n k=1 n 12[ k]+ 1 を求めよ.

2011 東京理科大学 理学部

数理情報学科B方式

2月13日実施

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 実数 a b b0 に対し, x 2 次式 f (x) g( x)

f( x)= x2+ bx+ a2 g( x)= x2+ 2b x+1

で定め, F( x)= f( g( x) ) とする.このとき, 4 次方程式 F (x) =0 の実数解について考える.次の問いに答えよ.

(1) 方程式 f (x) =0 が実数解をもつための必要十分条件を a b を用いて表せ.

(2) 方程式 F (x) =0 が実数解をもつならば,方程式 f (x) =0 も実数解をもつ.その理由を簡単に説明せよ.

(3) 方程式 F (x) =0 がただ 1 つの実数解をもつための必要十分条件を a b を用いて表せ.また,その条件を満たす点 (a ,b ) 全体の集合を D とするとき, D a b 平面上に図示せよ.

(4) 点 (a ,b) が(3)で定めた集合 D 上を動くとき,方程式 F (x) =0 がただ 1 つの実数解のとり得る値の範囲を求めよ.

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