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2011-13442-1301
2011 東京理科大学 理学部数理情報学科B方式
2月13日実施
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 実数 x に対し, [x ] は x 以下の最大の整数を表す.次の問いに答えよ.
(1) k ,t を自然数とするとき, [k ]=t となるような k のとり得る値の範囲を, t を用いた不等式で表せ.
(2) n を自然数とし,和
∑ k=1 n⁡ 12⁢ [k ]+1
が自然数となるような n の値を,小さい順に並べて, a1 ,a2 , a3 ,⋯ と定める.
(a) a1 ,a2 の値を求めよ.
(b) 自然数 m に対して, am および
∑ k=1 am ⁡ 1 2⁢[ k] +1
を m を用いて表せ.
(3) limn→ ∞⁡ 1n ⁢ ∑ k=1 n⁡ 12⁢[ k]+ 1 を求めよ.
2011-13442-1302
【2】 実数 a , b ( b≧0 ) に対し, x の 2 次式 f⁡ (x) ,g⁡( x) を
f⁡( x)= x2+ b⁢x+ a2 ,g⁡( x)= x2+ 2⁢b ⁢x+1
で定め, F⁡( x)= f⁡( g⁡( x) ) とする.このとき, 4 次方程式 F⁡ (x) =0 の実数解について考える.次の問いに答えよ.
(1) 方程式 f⁡ (x) =0 が実数解をもつための必要十分条件を a , b を用いて表せ.
(2) 方程式 F⁡ (x) =0 が実数解をもつならば,方程式 f⁡ (x) =0 も実数解をもつ.その理由を簡単に説明せよ.
(3) 方程式 F⁡ (x) =0 がただ 1 つの実数解をもつための必要十分条件を a , b を用いて表せ.また,その条件を満たす点 (a ,b ) 全体の集合を D とするとき, D を a b 平面上に図示せよ.
(4) 点 (a ,b) が(3)で定めた集合 D 上を動くとき,方程式 F⁡ (x) =0 がただ 1 つの実数解のとり得る値の範囲を求めよ.