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2011-13442-1401
2011 東京理科大学 全学部C日程
2月18日実施
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 a を正の実数とし,実数 x は
8⁢( ax+ 1 ax )+ 9⁢ (a 2⁢x + 1a2 ⁢x )- 802=0
を満たすものとする.
(1) t=ax + 1ax とおくと, t は
ア ⁢ t2+ イ ⁢ t- ウ エ オ =0
を満たす.ゆえに
t= カ キ ク
である.
(2) a=3 のとき, x=- ケ , コ となり, a=243 のとき, x=- サ シ , ス セ となる.
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【2】 平面上の 2 つのベクトル x → ,y→ が
|4 ⁢x→ -3⁢ y→ |= 1 , | 3⁢x→ +4⁢ y→ |=1
を満たすように動いている.ここで, 4⁢x →-3 ⁢y→ =u→ , 3⁢x →+4 ⁢y→ =v→ とおくと
x→ = 1 ア イ ⁢ ( ウ ⁢ u→+ エ ⁢ v→ ), y→= 1 オ カ ⁢ ( - キ ⁢ u→ + ク ⁢ v→ )
となる.このことから
| x→ +y→ | 2= ケ コ サ + シ ス セ ソ タ ⁢ u→ ⋅v →
となる.ゆえに, | x→+ y→ | の最大値は チ ツ テ で,最小値は ト ナ ニ である.
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【3】 xy 平面上の任意の点を直線 y= 3⁢x に関して対称な点に移す 1 次変換を考える.
(1) この 1 次変換を表す行列を A とすると
A=( - 1 ア イ ウ エ オ 1 カ )
となる.
(2) 楕円 x24 +y 2=1 上の点を A で表された 1 次変換で移し,さらに続けて原点のまわりに角 θ だけ回転したとする. θ= π6 のとき,この点は
1 キ ク ⁢( ケ ⁢ x2+ コ ⁢ サ ⁢ x⁢ y+ シ ス ⁢ y2) =1
で表される図形上に移り, θ=- π 6 のとき
x 2 セ + y2 ソ =1
で表される楕円上に移る.
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【4】 座標空間において, 4 点 O (0 ,0,0 ), A( 1,0,0 ), B( 0,1,0 ), C( 0,0,1 ) をとり, a→ =OA→ , b→ =OB→ , c→ =OC→ とする.点 D( 1,0, 1) をとり,線分 AD を 1 :3 に内分する点を P とする.また点 G (1 ,1,1 ) をとり,線分 DG を t :(1 -t) に内分する点を Q とする.ただし, 0<t <1 である.
(1) 点 E (0 ,1,1 ) をとるとき
OP→ =a→ + 1 ア ⁢ c →
EP→ =a→ -b→ - イ ウ ⁢ c→
OQ→ =a→ +t⁢ b→+ c→
(2) 線分 EP と OQ が交わるとし,その交点を R とする. OR→ =OE→ +ER→ であるから, t= エ オ であり,点 R の座標は ( カ キ , ク ケ , コ サ ) である.
(3) (2)のとき, ∠POQ=θ とすると
| OP→ |= シ ス 4 , | OQ→ |= セ ソ タ
であるから, cos⁡θ= チ ツ テ ト ナ であり, ▵OPQ の面積は ニ ヌ ネ ノ ハ である.
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【5】 x の関数 F⁡ (x) = ∫02 ⁡ | t-x| t+3 ⁢ dt の最小値を求めたい. x<0 のとき F ⁡(x )>F ⁡(0 ), x>2 のとき F ⁡(x )>F ⁡(2 ) であることがわかるから, 0≦x ≦2 の範囲で調べればよい.
以下において log ⁡x は自然対数を表す.
(1) 0≦x≦ 2 のとき
F⁡( x)= ア - イ ⁢ log⁡ ウ エ - ( オ + log⁡ カ キ ⁢ )⁢ x + ク ⁢( x+ ケ )⁢ log⁡( x+ コ )
(2) 0<x< 2 において, F⁡( x) の導関数 F ′⁡ (x ) は
F′⁡ (x) =-log⁡ サ シ + ス ⁢ log⁡ (x+ セ )
(3) 以上より, F⁡( x) は x= ソ タ - チ のとき最小値 ツ - 2⁢ テ ト をとる.
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【6】 xy 平面に媒介変数 t ( 0≦t≦ π 2 ) を用いて表された曲線
x=cos⁡ 2⁢t ,y= (sin ⁡t) k
がある.ここで, k は正の整数である.
(1) k=2 のとき, d xdt =- ア ⁢ sin⁡2⁢ t , dydt = イ ⁢ sin⁡ t⁢cos⁡ t であるから,定積分
∫ 0π2 ⁡ ( dxdy ) 2+ ( dyd t) 2⁢ dt
の値は ウ である.
(2) k=3 のとき,この曲線と x 軸と直線 x= -1 とで囲まれた図形の面積は エ オ である.
(3) (2)の図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積は π カ である.