2011 東京理科大学 理学部第二部数学科3月4日実施MathJax

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2011 東京理科大学 理学部第二部

数学科

3月4日実施

配点10点

易□ 並□ 難□

【1】 次の   内の 1 つのからにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい.

 上底 AD =6 下底 BC =9 AB= 3 ABC =60 ° の台形 ABCD の辺 DC 2 :1 に内分する点を E とし,ベクトル BA と同じ向きの単位ベクトルを a BC と同じ向きの単位ベクトルを b とする.

 ベクトル DB a b を用いて

DB =- a - b

と表され,ベクトル DB の大きさは となる.

 また,ベクトル DE は,

DE =- a - b

と表される.

  2 つのベクトル DB DE の内積 DB DE は,

DB DE =-

となる.

  DBE の面積を S とすれば, S= である.

2011 東京理科大学 理学部第二部

数学科

3月4日実施

配点20点

易□ 並□ 難□

【2】 次の   内の 1 つのからにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい.なお, などが 2 度現れる場合, 2 度目は などのように網掛けで表記する.

 方程式 3 (9x +9 -x) -16( 3x+ 3-x )+ 26=0 の解を考える.まず, t=3 x+3 -x とおけば,

9x+ 9-x =t -

となるので,方程式 3 (9x +9- x) -16 (3x +3- x) +26=0 t に関する 2 次方程式,

t2- t+ = 0

と変形できる.この 2 次方程式の解は, t= および t = である.

  t= のときは, 3x= となるので, x= となる.

  t= のときは, 3x= または 3 x= となるので, x= または x =- である.

2011 東京理科大学 理学部第二部

数学科

3月4日実施

配点20点

易□ 並□ 難□

【3】 次の   内の 1 つのからにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい.また,   内の(a)から(g)に当てはまる正負の記号をマークしなさい. 0 + 0 で表し,分数は既約分数として表すものとする.

  4 次関数 f (x) =ax 4+b x3 +cx 2+d x+e は次の 2 つの条件を満たしているものとする.

1.  2 A (0 ,3) B (2 ,19) が曲線 y= f( x) の変曲点になる.

2. 点 B (2 ,19) における曲線 y= f( x) の接線は x 軸に平行である.

 このとき, f( x) の各項の係数はそれぞれ,

a= (a) b= (b) c= (c)

d= (d) e= (e)

となる.

 また,点 B (2 ,19) における曲線 y= f( x) の接線は,曲線 y= f( x) と点 B 以外の点

C( (f) , (g) )

で交わる.

 したがって,曲線 y= f( x) と点 B における接線で囲まれる図形の面積は,

となる.

2011 東京理科大学 理学部第二部

数学科

3月4日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【4】 ある商品 1 個を定価 100 円で売ると 1 1000 個売れるものとし,定価を 100 円から x 円値上げすると 1 日に売れる個数が 10 x 個減るものとする.この商品の 1 日の利益について考える.たとえば,この商品を 1 個作るのに 90 円かかるとし, 1 1000 個作り定価 110 円で売るとすれば, 1 日の利益は 110 × 900-90 × 1000=9000 円となる.

(1) この商品を 1 個作るのに 80 円かかるとき,次の問に答えなさい.

(a) 定価を 100 円から x 円値上げし 1 日に 1000 個作るとき, 1 日の利益 y 円を x 2 次式で y =Ax 2+B x+C の形に表しなさい.

(b) 定価を 100 円から x 円値上げし 1 日に売れる個数だけ作るとき, 1 日の利益 y 円を x 1 次式で y =A x2+B x+C の形に表しなさい.

(c) 定価を 100 円から x 円値上げし 1 日に売れる個数だけ作るとき, 1 日の利益を最大にするためには,定価を何円にすればよいかを求めなさい.また,その時の 1 日の利益を求めなさい.

(2) この商品を 1 個作るのに α 円かかるとき,次の問に答えなさい.ここで α 80 <α<100 を満たす偶数とする.

(a) 定価を 100 円から x 円値上げし 1 日に売れる個数だけ作るとする. 1 日の利益 y 円を x 2 次式で y =A x2+ Bx+ C の形に表すとき, 2 次式の係数 A B C を求めなさい.

(b) 定価を 100 円から x 円値上げし 1 日に売れる個数だけ作るとき, 1 日の利益を最大にするためには,定価を何円にすればよいかを α の式で表しなさい.また,そのときの 1 日の利益を α の式で表しなさい.

2011 東京理科大学 理学部第二部

数学科

3月4日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【5】 行列 A= 14 ( 6+ 2- 6+2 6 -2 6+ 2 ) E=( 1 00 1 ) に対して,次の問に答えなさい.

(1)  sin15 ° を求めなさい.

(2) 行列 A -E は逆行列をもつことを証明しなさい.

(3) 行列 A 3 は原点を中心とする回転移動を表すことを示し,その回転角 θ 0 ° θ360 ° を求めなさい.

(4)  An= E となる最小の自然数 n を求めなさい.

(5) 行列 A 47+A 46+A 45+ A2+ A+E を求めなさい.

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