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2011-13442-1701
2011 東京理科大学 工学部第二部B方式
建築,電気工,経営工学科
3月5日実施
配点20点
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b を実数として,行列 A= ( 1a ab ) を考える.行列 A が逆行列をもたないとき,以下の問いに答えなさい.
(1) b を a を用いて表すと b= ア ⁢ a2 となる.
(2) x ,y に関する連立 1 次方程式
A⁢( x y )=( 1 3 )
が解を無数にもつとき,
A=( 1 イ イ ウ )
である.
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【2】 座標平面において,直線 y= 2⁢x+ 1 と放物線 2⁢ y2= a⁢( x+1) は異なる 2 点で交わるとする.ただし, a は実数の定数とする.
(1) a のとりうる値の範囲は
a> ア , a<- イ ウ
(2) a=2 のとき,直線 y= 2⁢x+ 1 と放物線 2⁢ y2= a⁢( x+1 ) で囲まれる部分の面積は エ オ カ である.
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【3】 0≦x≦ y≦ π2 とする. x ,y が連立方程式
{ cos2 ⁡x+cos 2⁡y= 54 sin ⁡x⁢sin ⁡y= 24
を満たすとき,以下の問いに答えなさい.
(1) sin2⁡ x+sin2 ⁡y= ア イ である.
(2) x= ウ エ ⁢ π ,y= オ カ ⁢ π である.
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【4】 次の条件によって定まる数列 { an} がある.
a1= 3 ,an +1= 2⁢an +3⁢n -2 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯)
(1) a2= ア , a3= イ ウ である.
(2) bn= an+ 1- an とおくと,数列 { bn } の一般項は
bn= エ ⋅ オ n-1 - カ
(3) an= キ ⋅ ク n-1 - ケ ⁢ n- コ である.
(4) 数列 { an} の初項から第 n 項までの和は
サ ⋅ シ n- ス セ ⁢ n2- ソ タ ⁢ n- チ
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【5】 座標平面において, 2 点 A (- 1,2) ,B (2 ,6) および直線 y= 2⁢x を考える.
(1) 直線 y= 2⁢x に関して,点 A と対称な点の座標は ( ア イ ウ , エ オ ) である.
(2) 点 P が直線 y= 2⁢x 上を動くとき, PA+PB を最小にする P の座標は ( カ キ ク ケ , コ サ シ ス ) である.
(3) 2 点 A , B を通る直線を l とする.直線 y= 2⁢x 上の点で,直線 l との距離が 4 となる点の座標は ( セ ソ , タ チ ) と ( - ツ , - テ ト ) である.