2011　東邦大学　理学部B英数択一MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

$\text{(ⅰ)}$　関数$f(x)=e^x\sin x$は$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲で$x=\boxed{\text{ア}}$のとき極大値$\boxed{\text{イ}}$をとる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

$\text{(ⅱ)}$　整式$f(x)$が$f(x)+{\displaystyle {\int }_0^1}(x-t)f(t)dt=17x+2$をみたすとき，$f(x)$は$x$の$\boxed{\text{ウ}}$次式であり，最高次の係数は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

$\text{(ⅲ)}$　$A=\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 1& -1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．実数$x\text{，}y$が$A^2=xA+yE$を満たすならば$x$の値は$\boxed{\text{オ}}$であり，$y$の値は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

$\text{(ⅳ)}$　実数$a\text{，}b$に対して$A=\left(\begin{array}{cc}2a& -b\\ 2b+2& a-1\end{array}\right)\text{，}{a}^2+b^2=\sqrt{2}$とする．$A$が逆行列を持たないとき，$a+b=\boxed{\text{キ}}$で$ab=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$f(x)={\displaystyle \frac{kx}{x^2+1}}\text{（}k>0\text{）}$とするとき，以下の問いに答えよ．

$\text{(ⅰ)}$　$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

$\text{(ⅱ)}$　$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めよ．

$\text{(ⅲ)}$　$y=f(x)$の極大値，極小値を$k$で表せ．

$\text{(ⅳ)}$　$y=f(x)$の変曲点を求めよ．

$\text{(ⅴ)}$　$y=f(x)$のグラフをかけ．

【３】　原点を$\mathrm{O}(0,0)$とし，行列$A$および$B$を行列$A=\left(\begin{array}{cc}7& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 5\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)$と定める．点$\mathrm{P}(x,y)$は$\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$をみたす点$\mathrm{Q}(u,v)$に移り，点$\mathrm{Q}(u,v)$は$\left(\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$を満たす点$\mathrm{R}(r,s)$に移る．このとき，以下の問に答えなさい．

$\text{(ⅰ)}$　線分$\mathrm{OQ}$の長さを，$x$と$y$の式で表せ．

$\text{(ⅱ)}$　点$\mathrm{P}$が原点を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，線分$\mathrm{OQ}$の長さの最大値を求めよ．

$\text{(ⅲ)}$　行列$BA$の逆行列を求めよ．

$\text{(ⅳ)}$　点$\mathrm{P}$が原点を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，点$\mathrm{R}(r,s)$の軌跡を求めよ．