2011　早稲田大学　国際教養MathJax

【１】

(1)　ある工場の製品が$50$個あり，その中に不良品が$5$個だけ含まれている．このとき次の問いに答えよ．

(ⅰ)　この$50$個の製品の中から$5$個を同時に取り出したとき，少なくとも$1$個の不良品が含まれる確率は$\boxed{\text{ア}}$である．

(ⅱ)　この$50$個の製品の中から同時にいくつかの製品を取り出したとき，$1$個以上の不良品が含まれる確率を${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きくなるようにしたい．このときに，取り出す製品の個数は少なくとも$\boxed{\text{イ}}$個でなければならない．

【１】

(2)　$x^2+y^2=25$で表される円$A$がある．点$(7,1)$から円$A$に接線を引く．

(ⅰ)　接線の方程式は，$y=-\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}}$と$y=\boxed{\text{オ}}x-\boxed{\text{カ}}$で表される．$\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}$を正の分数で表せ．

(ⅱ)　上で求めた$2$本の接線に接し，さらに円$A$に接する円は$\boxed{\text{キ}}$個ある．これらの$\boxed{\text{キ}}$個の円の半径で，最大の半径は$\boxed{\text{ク}}$であり，最小の半径は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,3,0)\text{，}\mathrm{C}(2,2,3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{コ}}$である．

(2)　辺$\mathrm{OC}$上に動点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最小になるとき，$\mathrm{P}(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{ス}})$であり，その最小値は$\boxed{\text{セ}}$である．

(3)　(2)で選んだ点$\mathrm{P}$を${\mathrm{P}}_0$とし，${\mathrm{P}}_0$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{AB}$との交点を${\mathrm{Q}}_0$とする．${\mathrm{Q}}_0(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}},0)$であり，三角形$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_0\mathrm{C}$の面積は$\boxed{\text{チ}}$である．また，四面体$\mathrm{O}\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_0{\mathrm{P}}_0$の体積は$\boxed{\text{ツ}}$となる．

【３】　不等式

$|y|-|x(x-1)|\leqq 0$

の表す領域を$S$とする．

(1)　$S$において，不等式

$-{\displaystyle \frac{9}{10}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{11}{10}}$

を満たす点$(x,y)$の領域を$T$とする．$T$に含まれる点$(x,y)$に対し，$y$の最大値は$\boxed{\text{テ}}$である．

(2)　$S$において，不等式

$-{\displaystyle \frac{1}{20}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{11}{10}}$

を満たす点$(x,y)$の領域を$U$とする．領域$U$における関数$x+9y$の最大値は$\boxed{\text{ト}}$で，最小値は$\boxed{\text{ナ}}$である．