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2011-13591-0301
2011 早稲田大学 基幹理工学部, 創造理工学部,先進理工学部
2月16日実施
易□ 並□ 難□
【1】 xy‐ 平面上の放物線 y= x2 を C とする.以下の問に答えよ.
(1) C 上の点 (a ,a2 ) における C の法線の方程式を求めよ.
(2) 点 (1 ,2) を通る C の法線の数を求めよ.
(3) 点 (t, t+ 12 ) を通る C の法線の数が 2 となるための t に対する条件を求めよ.
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【2】 xy‐ 平面上の円 C: x2+ y2= 1 の内側を半径 12 の円 D が C に接しながらすべらずに転がる.時刻 t において D は点 ( cos⁡t, sin⁡t ) で C に接しているとする. D の周上の点 P の軌跡について考える.ある時刻 t 0 において点 P が ( 1 4 , 34 ) にあり, D の中心が第 2 象限にあるとする.以下の問に答えよ.
(1) 時刻 t 0 における D の中心の座標を求めよ.
(2) 第 1 象限において,点 P が C 上にあるときの P の座標を求めよ.
(3) 点 P の軌跡を xy ‐ 平面上に図示せよ.
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【3】 f⁡( x)= log ⁡xx とする.以下の問に答えよ.
(1) y=f( x) のグラフの概形を次の点に注意して描け: f⁡( x) の増減,グラフの凹凸, x→+ 0, x→ ∞ のときの f ⁡(x ) の挙動.
(2) n を自然数とする. k=1 , 2, ⋯, n に対して x が ek- 1n ≦x≦ ekn を動くときの f ⁡(x ) の最大値を Mk , 最小値を m k とし,
An= ∑ k=1 n⁡ Mk⁢ (e kn- ek- 1n ),
Bn= ∑ k=1 n⁡ mk⁢ (e kn- ek- 1n )
とおく. An ,Bn を求めよ.
(3) limn→ ∞⁡ An および lim n→∞ ⁡B n を求めよ.
(4) 各 n に対して B n< ∫1 e⁡ f⁡( x)⁢ dx<A n であることを示せ.
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【4】 xy‐ 平面上の原点を O とし,楕円 x2a 2+ y 2b2 =1 ( a> b>0 ) を E とする. E 上の点 P (s ,t) における E の法線と x 軸との交点を Q とする.点 P が s >0 ,t> 0 の範囲を動くとき, ∠OPQ が最大になる点 P を求めよ.
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【5】 四面体 OABC において OA= BC=2 ,OB=3 , OC=AB= 4 ,AC= 2⁢6 である.また, a→ =OA→ , b→ =OB→ , c→ =OC→ とする.以下の問に答えよ.
(1) 内積 a →⋅ b→ , a→ ⋅c→ , b→ ⋅c→ を求めよ.
(2) ▵OAB を含む平面を H とする. H 上の点 P で直線 PC と H が直交するものをとる.このとき, OP→ =x⁢ a→ +y⁢ b→ となる x , y を求めよ.
(3) 平面 H を直線 OA , AB ,BO で右図のように 7 つの領域ア,イ,ウ,エ,オ,カ,キにわける.点 P はどの領域に入るか答えよ.
(4) 辺 AB で ▵ABC と ▵OAB のなす角は鋭角になるか,直角になるか,それとも鈍角になるかを判定せよ.ただし, 1 辺を共有する 2 つの三角形のなす角とは,共有する辺に直交する平面での 2 つの三角形の切り口のなす角のことである.