2011　早稲田大学　理工MathJax

【１】　$xy‐$平面上の放物線$y=x^2$を$C$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$C$上の点$(a,a^2)$における$C$の法線の方程式を求めよ．

(2)　点$(1,2)$を通る$C$の法線の数を求めよ．

(3)　点$(t,t+{\displaystyle \frac{1}{2}})$を通る$C$の法線の数が$2$となるための$t$に対する条件を求めよ．

【２】　$xy‐$平面上の円$C:x^2+y^2=1$の内側を半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円$D$が$C$に接しながらすべらずに転がる．時刻$t$において$D$は点$(\cos t,\sin t)$で$C$に接しているとする．$D$の周上の点$\mathrm{P}$の軌跡について考える．ある時刻$t_0$において点$\mathrm{P}$が$({\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})$にあり，$D$の中心が第$2$象限にあるとする．以下の問に答えよ．

(1)　時刻$t_0$における$D$の中心の座標を求めよ．

(2)　第$1$象限において，点$\mathrm{P}$が$C$上にあるときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy‐$平面上に図示せよ．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を次の点に注意して描け：$f(x)$の増減，グラフの凹凸，$x\to +0\text{，}x\to \infty$のときの$f(x)$の挙動．

(2)　$n$を自然数とする．$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して$x$が$e^{\frac{k-1}{n}}\leqq x\leqq e^{\frac{k}{n}}$を動くときの$f(x)$の最大値を$M_k\text{，}$最小値を$m_k$とし，

$A_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{M}_k(e^{\frac{k}{n}}-e^{\frac{k-1}{n}})\text{，}$

$B_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{m}_k(e^{\frac{k}{n}}-e^{\frac{k-1}{n}})$

とおく．$A_n\text{，}{B}_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{B}_n$を求めよ．

(4)　各$n$に対して$B_n<{\displaystyle {\int }_1^e}f(x)dx<A_n$であることを示せ．

【４】　$xy‐$平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>b>0\text{）}$を$E$とする．$E$上の点$\mathrm{P}(s,t)$における$E$の法線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が$s>0\text{，}t>0$の範囲を動くとき，$\angle \mathrm{OPQ}$が最大になる点$\mathrm{P}$を求めよ．

【５】　四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{AC}=2\sqrt{6}$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．$H$上の点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{PC}$と$H$が直交するものをとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる$x\text{，}y$を求めよ．

(3)　平面$H$を直線$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BO}$で右図のように$7$つの領域ア，イ，ウ，エ，オ，カ，キにわける．点$\mathrm{P}$はどの領域に入るか答えよ．

(4)　辺$\mathrm{AB}$で$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{OAB}$のなす角は鋭角になるか，直角になるか，それとも鈍角になるかを判定せよ．ただし，$1$辺を共有する$2$つの三角形のなす角とは，共有する辺に直交する平面での$2$つの三角形の切り口のなす角のことである．