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2011-13591-0401
2011 早稲田大学 人間科学部
A方式,B方式共通 2月18日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 数列 { an} の初項から第 n 項までの和を S n とする. log10 ⁡( Sn+1 )= n が成り立っているとき,一般項は an= ア ⋅ イ n- ウ となる.
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(2) 方程式 log x-3 ⁡( x3- 8⁢x2 +20⁢ x-17) =3 の解は x= エ である.
2011-13591-0403
【2】 関数 f⁡ (x) =x3- 3⁢x2 -6⁢x -6 x- 3x2 + 1x3 の定義域は x >0 とする. x= オ ± カ キ のとき,関数 f ⁡(x ) は最小値 ク をとる.ただし, キ はできるだけ小さな自然数で答えること.
2011-13591-0404
【3】 3 点 A (1 ,0,0 ), B( 0,1 2,0 ), C (0 ,0, 13 ) の定める平面を α とする.点 O を原点とし,点 P を OP→= OA→ +OB→ +OC→ を満たすようにとり,点 P から平面 α に垂線 PQ を下ろす.このとき, PQ→ = ケ ⁢ OA→ +コ ⁢ OB→+ サ ⁢ OC→ シ となる.ただし, シ はできるだけ小さな自然数で答えること.
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【4】 公平な硬貨 X を 3 回投げる.「 1 回目に表が出る」という事象を A , 「 3 回目に表が出る」という事象を B , 「試行結果が裏 → 表の順序で出ることはない」という事象を C とする.このとき,
P⁡( A∩ C) -P⁡( A) ⁢P⁡( C) = ス セ
である.
次に,硬貨 X が必ずしも公正でなく表の出る確率が a ( 0< a<1 ), 裏の出る確率が 1 -a であるとする.この場合の確率を P a で表すとき,
Pa⁡( A) ⁢Pa ⁡(B )⁢P a⁡( C) Pa⁡ (A ∩B∩ C)
を最小にする a の値は ソ タ である.
ただし, セ , タ はできるだけ小さな自然数で答えること.
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【5】 定数 a に対して f⁡ (x) =a⁢x 2+3 ⁢a ,g⁡( x)=2 ⁢a⁢x- a2 とするとき,すべての実数 x について f ⁡(x )>g ⁡(x ) が成り立つための必要十分条件は a >チ であり,少なくとも 1 つの実数 x について f ⁡(x )> g⁡( x) が成り立つための必要十分条件は, a> ツ または a < テ である.
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A方式 2月18日実施
【6】 0≦θ≦ π 2 であるとき, 2⁢cos 2⁡θ +( sin⁡θ+ 3⁢cos⁡ θ) 2 の最小値は ト で,最大値は ナ + ニ である.
2011-13591-0408
【7】 平面上の点 (x ,y) で, ( x3) 2⁢n +( y2 ) 2⁢n <1 を満たすような自然数 n が存在するための必要十分条件は, ヌ< x< ネ かつ ノ< y< ハ である.
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B方式 2月18日実施
【6】 A=( 1 23 6 ) とする.点 (x ,y) が xy 平面上を動くとき,行列 A による変換 ( X Y) =A⁢ ( xy ) で移される点 ( X,Y ) は X Y 平面上の直線 l :Y= ト⁢ X 上を動く.
次に,行列 G= ( ab ba ) が A⁢ G⁢A= A を満たすとする.点 ( X,Y ) が l 上を動くとき,その各点で列ベクトル G ⁡( X Y ) が定まる.このとき,列ベクトル G ⁡( X Y ) の大きさは X の値により変化するが,いずれの場合においても a = ナ ニ ,b= ヌ ネ のとき最小となる.ただし, ニ , ネ はできるだけ小さい自然数で答えること.
2011-13591-0410
B方式 2月18日実施
【7】 a>0 , b≧0 のとき,曲線 y= -a⁢cos ⁡π⁢x +a+b ( 0≦ x≦1 ) を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V とすると,
V= π2⁢ ( ノ ⁢ a2+ ハ ⁢ a⁢b+ ヒ b2)
となる.また,ある定数 c に対し 2⁢ a+b= c が成り立つとすると, a= cフ のとき, V は最小値 ヘ 8⁢ π ⁢c2 をとる.