2011　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ。

(1)　平面上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，

$3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+7\overrightarrow{\mathrm{OB}}+5\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ。

(2)　$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ。

(3)　碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1\text{，}{a}_2=2$である．このとき$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ。

(4)　立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で$\boxed{\text{エ}}$個ある．

【２】　$xy$平面上にある$3$つの半直線

$y=0\text{（}x\geqq 0\text{）}\text{，}y=x\tan \theta \text{（}x\geqq 0\text{）}\text{，}y=-\sqrt{3}x\text{（}x\leqq 0\text{）}$

と，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r\text{（}r\geqq 1\text{）}$の円が交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．ただし${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$である．

(1)　四角形$\mathrm{OABC}$の面積が半径$1$の円に内接する正六角形の面積の${\displaystyle \frac{1}{3}}$に等しいとき，$r^2$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}}{r}^{2}d\theta$を求めよ．

【３】　右図のように$9$個の点${\mathrm{A}}_{\mathrm{}}\text{，}{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_3\text{，}{\mathrm{B}}_4\text{，}{\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_2\text{，}{\mathrm{C}}_3\text{，}{\mathrm{C}}_4$とそれらを結ぶ$16$本の線分からなる図形がある．この図形上にある物体$\mathrm{U}$は，毎秒ひとつの点から線分で結ばれている別の点へ移動する．ただし$\mathrm{U}$は線分で結ばれているどの点にも等確率で移動するとする．最初に点$\mathrm{A}$にあった物体$\mathrm{U}$が，$n$秒後に点$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$とすると，$a_0=1\text{，}{a}_1=0$である．このとき$a_n\text{（}n\geqq 2\text{）}$を求めよ．

【４】　点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(4,0)\text{，}\mathrm{B}(0,3)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$2$等分する線分の長さの最大値と最小値を求めよ．