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(1) は整数で,次方程式
(A)
が異なるつの実数解をもつとする.このとき,はともに整数であるか,ともに無理数であるかのいずれかであることを証明する.以下の問に答え,証明を完成せよ.
まず,のときは,であるから(A)は整数解をもつ.以下ではとする.
解と係数の関係よりであり,これらは整数である.有理数と無理数の和は有理数でなく,整数と整数以外の有理数の和は整数でないという事実を用いると,がともに整数以外の有理数であるとして矛盾を導けばよい.
そこで,が以上の整数と,でない整数を用いて,既約分数
で表されると仮定する.ここに,が既約分数であるとは,との最大公約数がであることをいう.このとき,
である.
問1 において,が整数であることを用いて,であることを示せ.
問2 において,が整数であることと問1の結果から,既約分数の仮定に矛盾することを示せ.
問2の結果から,はともに整数であるか,ともに無理数であることが示された.
(2) が自然数のとき,は自然数であるか無理数であることを証明せよ.