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2011-13591-0801
2011 早稲田大学 社会科学部
2月22日実施
易□ 並□ 難□
【1】 a>0 ,b>0 は次の式を満たす.
a⁢b- b2+ 5⁢a- 2⁢b+ 15=0 ① aa⁢ bb- ab⁢ ba- 999⁢a a⁢b a=0 ②
次の問に答えよ.ただし, log10⁡ 2=0.3010 ,log10 ⁡3=0.4771 , log10⁡ 7=0.8451 とする.
(1) b-a の値を求めよ.
(2) a および b の値を求めよ.
(3) a50 は何桁の整数か.
(4) a50 の最高位の数字を求めよ.
2011-13591-0802
【2】 正の定数 a , b ,c を用いて, ▵ABC の内部の点 P は
a⁢PA →+b ⁢PB→ +c⁢ PC→ =0 →
と表すことができる.ただし, 0→ は零ベクトルである.
次の問に答えよ.
(1) 直線 AP と辺 BC の交点を Q とする.
(ⅰ) 線分の長さの比 BQ: QC=t: 1-t とおくと
PQ→ = ①⁢ PA →+ ② ⁢ PB→
と表せる. ① ,② にあてはまる t の式を a , b ,c を用いて表せ.
(ⅱ) 線分の長さの比 BQ: QC を a , b ,c を用いて表せ.
(ⅲ) 線分の長さの比 AP :PQ を a , b ,c を用いて表せ.
(2) 面積の比 ▵PBC :▵PCA :▵PAB を a , b ,c を用いて表せ.
2011-13591-0803
【3】 1 から 6 までの目が等しい確率で出るサイコロを n 回投げたとき,第 i 回目( i =1 ,2 , ⋯ ,n )に出た目の数を X i とおく.そして, Xi の 2 乗の和 Sn= Xi2 +⋯+ Xn 2 が 3 で割り切れる確率を pn ,3 で割った余りが 1 である確率を q n とする.
(1) p1 および q 1 の値を求めよ.
(2) p2 および q 2 の値を求めよ.
(3) pn+ 1 および q n+1 をそれぞれ p n と q n を用いて表せ.
(4) an= pn- qn とおく. an+ 2 を a n を用いて表せ.
(5) an を n を用いて表せ.