2011　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　$a>0\text{，}b>0$は次の式を満たす．

$\begin{array}{ll}ab-b^2+5a-2b+15=0& \text{①}\\ a^a{b}^b-a^b{b}^a-999a^a{b}^a=0& \text{②}\end{array}$

　次の問に答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}7=0.8451$とする．

(1)　$b-a$の値を求めよ．

(2)　$a$および$b$の値を求めよ．

(3)　$a^{50}$は何桁の整数か．

(4)　$a^{50}$の最高位の数字を求めよ．

【２】　正の定数$a\text{，}b\text{，}c$を用いて，$▵\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$は

$a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+c\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$

と表すことができる．ただし，$\overrightarrow{0}$は零ベクトルである．

　次の問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(ⅰ)　線分の長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}=t:1-t$とおくと

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\boxed{\text{①}}\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\boxed{\text{②}}\overrightarrow{\mathrm{PB}}$

と表せる．$\text{①}\text{，}\text{②}$にあてはまる$t$の式を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(ⅱ)　線分の長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(ⅲ)　線分の長さの比$\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　面積の比$▵\mathrm{PBC}:▵\mathrm{PCA}:▵\mathrm{PAB}$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

【３】　$1$から$6$までの目が等しい確率で出るサイコロを$n$回投げたとき，第$i$回目（$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$）に出た目の数を$X_i$とおく．そして，$X_i$の$2$乗の和$S_n={X_i}^2+\cdots +{X_n}^2$が$3$で割り切れる確率を$p_n\text{，}3$で割った余りが$1$である確率を$q_n$とする．

　次の問に答えよ．

(1)　$p_1$および$q_1$の値を求めよ．

(2)　$p_2$および$q_2$の値を求めよ．

(3)　$p_{n+1}$および$q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$と$q_n$を用いて表せ．

(4)　$a_n=p_n-q_n$とおく．$a_{n+2}$を$a_n$を用いて表せ．

(5)　$a_n$を$n$を用いて表せ．