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2011-14576-0201
2011 南山大学 経営学部A方式 2月9日実施
易□ 並□ 難□
【1】 の中に答を入れよ.
(1) 8n- 1< 1039< 8n を満たす自然数 n の値は ア である.ただし, log10 ⁡2=0.3010 とする.
2011-14576-0202
(2) ▵ABC の 3 辺の長さが a= 9 ,b=8 , c=7 であるとき, sin⁡A = イ であり,この三角形の面積は ウ である.
2011-14576-0203
(3) 2 次方程式 x 2+k⁢ x+3= 0 の 1 つの解が α = 3-3 ⁢i2 であるとき,実数 k の値は エ である.また, α5 +α3 +1 の値を求めると オ である.
2011-14576-0204
2011 南山大学 経営学部A,B方式共通 2月9日実施
(4) 定積分 ∫0 2⁡ | x2- 1| ⁢dx= カ である.また,関数 f⁡ (x ) がすべての実数 x に対して等式 f ⁡(x )= | x2- 1| + ∫02 ⁡f ⁡(t )⁢d t を満たすとき, f⁡( x)= キ である.
2011-14576-0205
B方式は(1)
(5) a ,b は実数で, a<0 とする. a≦x≦ 3 を定義域とする 2 次関数 y =1 2⁢ x 2-x+ b の値域が -5 ≦y≦3 であるとき, a= ク , b= ケ である.
2011-14576-0206
(6) a を 0 でない実数とする.関数 f⁡ (x) =x3 -3⁢a ⁢x2 -9⁢ a2⁢ x+3⁢ a の極小値が負になるとき, a のとりうる値の範囲は コ である.
2011-14576-0207
2011 南山大学 経営学部A方式 2月9日実施
【2】 点 A (1 ,0) を通る傾き k の直線を l とする. l と放物線 C :y=- x2- 2⁢x+ 4 の 2 つの交点を P (α ,-α 2-2 ⁢α+4 ), Q (β ,-β 2-2⁢ β+4 ) とする.ただし, α<β である.
(1) β-α を k を用いて表せ.
(2) β-α が最小となるときの k の値を求めよ.
(3) (2)のとき, l と C で囲まれた図形の面積を求めよ.
(4) (2)のとき, C 上を P から Q まで動く点を R とする.線分 AR の中点 M の軌跡を求めよ.
2011-14576-0208
2011 南山大学 経営学部B方式 2月9日実施
(2) 鋭角三角形の 3 辺の長さが, 1 ,3 ,a であるとき,実数 a のとりうる値の範囲は ウ である.また,この三角形の外接円の半径が 935 のとき, a= エ である.
2011-14576-0209
(3) (x+ y3 ) 12 の展開式における x 12-k ⁢y k の係数を a k ( k=0 ,1 , 2 ,⋯ ,12 ) とする. 1≦k ≦12 について aka k-1 を, k を用いて表すと オ 3⁢k である. ak ( k=0 ,1 , 2 ,⋯ ,12 ) が最大となるのは k = カ のときである.
2011-14576-0210
(5) k を実数とし,空間の 3 点 O (0 ,0,0 ), A( k,k,k ), B( 1,2,2 ) を考える. A を通りベクトル a→= (2, -3,2 ) に平行な直線を l とする. l 上の点を P とし, 2 つのベクトル OP → と OB → の内積 OP→ ⋅OB→ を k を用いて表すと ケ である. x≧2 かつ y ≧0 で表される空間の領域と l が共有点をもつとき, OP→ ⋅OB → の最小値は コ である.
2011-14576-0211
【2】 座標平面上に点 A (1 ,0) と放物線 C 1:y= -x2 -2⁢x +4 がある. C1 上を動く点を P とする.
(1) 線分 AP の中点の軌跡 C 2 を求めよ.
(2) C2 上の点 Q の x 座標を t とする. Q における C 2 の接線 l の方程式を t を用いて表せ.
(3) l と C 1 で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
(4) S が最小となるとき, t の値,および l の方程式を求めよ.
2011-14576-0212
【3】 2 つの数列 { an} ,{ bn} は
{ a1 =2 ,an +1- 2=Sn +4⁢ Tn b1= 1, bn+ 1-1 =5⁢S n+2⁢ Tn (n =1 ,2 ,3 ,⋯)
を満たす.ただし, {an } の初項から第 n 項までの和を S n ,{ bn } の初項から第 n 項までの和を T n とする.
(1) a2 ,b2 , a3 ,b3 を求めよ.
(2) an+ 1 ,bn +1 のそれぞれを a n と b n を用いて表せ.
(3) 数列 { an+ k⁢bn } ( n=1 , 2 ,3 ,⋯ ) が等比数列となるような実数 k の値を求めよ.また,そのときの公比 r を求めよ.
(4) {an } ,{ bn } の一般項を求めよ.