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2011-14576-0301
2011 南山大学 数理情報学部A方式 2月9日実施
易□ 並□ 難□
【1】 の中に答を入れよ.
(1) a ,b を実数 ( a≠b ) とする. 2 つの 2 次関数
y=x2 +a⁢ x+b ,y= x2+b ⁢x+a
の最小値が同じであるとき, a を用いて b を表すと b = ア である.このとき, 2 つの 2 次関数のグラフの交点の座標は イ である.
2011-14576-0302
(2) 2 つの行列 A= ( 12 34 56 ) ,B= ( 14 25 3 6 ) の積 A⁢ B を求めると A ⁢B= ウ である. 2 行 2 列の行列 C で表される 1 次変換による 2 点 ( 1,1) , (2 ,3) の像が,それぞれ, (- 3,5) ,( -8,12 ) であるとき,行列 C を求めると C = エ である.
2011-14576-0303
(3) α ,β は 0≦ α<2⁢ π ,0≦β <2⁢π を満たす実数とし, a=cos⁡ α ,b= cos⁡β とする. A=sin⁡ (α+ β)⁢ sin⁡( α-β ) を a と b で表すと A = オ であり, A の値が 1 となるときの β の値は β = カ である.
2011-14576-0304
(4) k を正の実数とする.直線 y= k⁢x と円 x 2+ (y- 3) 2=4 が異なる 2 点 P , Q で交わるとき, k の値の範囲は キ である.また,線分 PQ の長さが 2 となるのは, k= ク のときである.
2011-14576-0305
(5) 5 人でじゃんけんを 1 回するとき, 1 人だけが勝つ確率 p は p = ケ である.また, 5 人のじゃんけんを 1 人だけが勝つまで繰り返すとき, n 回以内に 1 人だけが勝って終わる確率 q を n を用いて表すと q = コ である.
2011-14576-0306
【2】 曲線 C: y= ea⁢ (x+ 2) a ( a>0 ) と原点 O から C に引いた接線 l を考える.
(1) l の方程式を求めよ.
(2) C と l と y 軸とで囲まれた部分の面積 S を a を用いて表せ.
(3) (2)の S について, S を最小にする a の値と S の最小値を求めよ.
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【3】 座標空間に 3 点 A (4 ,0,- 1) ,B (0 ,2,1 ), C( a,b,0 ) がある.
(1) AC=BC のとき, a ,b が満たす条件を求めよ.
(2) ∠ACB が 90 ° のとき, a ,b が満たす条件を求めよ.また,その条件を満たしながら a , b の値が変わるとき, xy 平面上での C の軌跡を求めよ.
(3) (1)の条件と(2)の条件をともに満たす C の座標を求めよ.