2011　南山大　人文総合2月11日MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　放物線$y=x^2+2x$を$x$軸方向に$p\text{，}y$軸方向に${\displaystyle \frac{1}{2}}{p}^2$だけ平行移動して得られる放物線$C$の方程式を求めると$y=\boxed{\text{ア}}$である．$C$と直線$y=x$が異なる$2$つの点で交わるような$p$の値の範囲を求めると$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$3$次の整式$F(x)$を考える．$F(x)$の$x^3$の項の係数は$1$であり，$xF(x))$を$x^2-3x+2$で割った余りは$2x$である．このとき，$F(2)$の値は$F(2)=\boxed{\text{ウ}}$であり，さらに，$F(-1)=2$であるとき，$F(-2)$の値は$F(-2)=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$において$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$2\text{，}3\text{，}x$であるとする．このとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積が最大になるような$x$の値を求めると$x=\boxed{\text{オ}}$である．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大になるような$x$の値を求めると$x=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$0<\alpha <\beta <\pi$のとき，座標平面上で，$2$点$\mathrm{A}(2\cos \alpha ,2\sin \alpha )\text{，}\mathrm{B}(2\cos \alpha +\cos \beta ,2\sin \alpha +\sin \beta )$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$▵\mathrm{OAB}$を考える．$\mathrm{B}$の座標が$(1,1)$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$の値は$\cos \angle \mathrm{AOB}=\boxed{\text{キ}}$であり，$\cos \alpha$の値は$\cos \alpha =\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　正の実数$a\text{，}b$について，座標平面上に$2$つの円$C_1:x^2+y^2-8x-20y+91=0\text{，}{C}_2:x^2+y^2+4x-4y+8-a=0$と放物線$D:y=b{(x-4)}^2-2$を考える．

(1)　$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．

(2)　$C_1$が$C_2$の外部にあるとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$が$1$点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$を除いて$C_1$が$C_2$の外部にあるとき，$\mathrm{P}$の座標と$\mathrm{P}$における$C_2$の座標の方程式を求めよ．

(4)　$C_1$と$D$が異なる$2$点のみを共有するとき，$b$の値を求めよ．