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2011-14576-0601
2011 南山大学 数理情報学部B方式 2月11日実施
易□ 並□ 難□
【1】 の中に答を入れよ.
(1) a ,b を実数とし, 3 次方程式 x 3+x 2+a⁢ x+b= 0 の 1 つの解が -1 であるとする.このとき, b を a で表すと b = ア となる.さらに,この 3 次方程式の他の 2 つの解が虚数となるとき, a の値の範囲は イ である.
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(2) 行列 ( 31 5 2 ) で表される 1 次変換を f とする. f によって点 ( 3,-1 ) が移される点の座標は ウ である.また, f によって点 ( x,y ) が点 ( 2,3 ) に移されるとき, (x, y)= エ である.
2011-14576-0603
(3) 関数 f ⁡(x )= 2 ⁢x+1 x+1 を考える.双曲線 y= f⁡( x) の漸近線は x =-1 と y = オ である.また,不等式 f ⁡(x )>1 -2⁢x が成り立つような x の値の範囲は カ である.
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(4) 赤球 4 個と白球 n 個( n≧ 1 )が入ったつぼから球を同時に 2 個取り出すとき,その 2 個が赤球白球 1 個ずつとなる確率を p n とする.このとき, n を用いて p n を表すと pn= キ であり, pn= pn+ 1 となる n の値を求めると n = ク である.
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(5) a ,c を実数とし,関数 f⁡ (x) =3⁢ sin⁡x+ 2cos2 ⁡x 2 ,g⁡ (x) =x2 -2⁢a⁢ x+1 を考える.方程式 f ⁡(x )=c が 0 ≦x≦π で異なる 2 つの解をもつような c の値の範囲は ケ であり,方程式 g ⁡(f ⁡(x )) =0 が 0 ≦x≦π で異なる 3 つの解をもつような a の値の範囲は コ である.
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【2】 数列 { an} の一般項を a n=1- ∫ -n n⁡ |x |⁢ e-x 2⁢d x とする.
(1) an= e-n となることを示せ.
(2) {an } の初項から第 n 項までの和 S n= ∑ k=1 n⁡ ak を求めよ.
(3) 無限級数 S= ∑ k=1 ∞ ⁡ak を求めよ.
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【3】 四面体 OABC と 2 点 P , Q がある. P は BC を 2 :1 に内分する点であり, Q は 3 ⁢QA→ +QB→ +2⁢ QC→= 0→ を満たす点である.また, a→ =OA→ , c→ =OB→ , c→ =OC→ , p→ =OP→ , q→ =OQ→ とする.
(1) p→ を b → と c → で表せ.
(2) q→ を a → と p → で表せ.
(3) 四面体 OABQ の体積を V 1 , 四面体 OBCQ の体積を V 2 , 四面体 OCAQ の体積を V 3 とするとき,体積の比 V1: V2: V3 を求めよ.