2011　南山大　外・法2月12日MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　関数$f(x)={\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^x-12{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x+40\text{（}-3\leqq x\leqq -1\text{）}$を考える．$-3\leqq x\leqq -1$のとき，$t={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x$のとりうる値の範囲を求めると$\boxed{\text{ア}}$である．また，$f(x)$の最小値$m$とそのときの$x$の値を求めると$(m,x)=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$とする．方程式$\cos 2\theta +3\cos \theta -1=0$を解くと$\theta =\boxed{\text{ウ}}$である．また，方程式${\log }_3(\sqrt{3}\tan \theta +1)+{\log }_3(\cos \theta )={\displaystyle \frac{1}{2}}$を解くと$\theta =\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$2x^3-a{x}^2-2x+a$を因数分解すると$\boxed{\text{オ}}$である．また，$P(x)=2x^3-a{x}^2-2x+a\text{，}Q(x)=-x^2+(2a-1)x+2a$とおくとき，すべての正の$x$について$P(x)-Q(x)>0$が成立するような$a$の値の範囲を求めると$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　四角形$\mathrm{ABCD}$が半径$4$の円に内接し，$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=4\sqrt{3}\text{，}\mathrm{CD}=\sqrt{3}\mathrm{DA}$とする．このとき，$\mathrm{AC}$の長さを求めると$\mathrm{AC}=\boxed{\text{キ}}$であり，$\mathrm{DA}$の長さを求めると$\mathrm{DA}=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　座標平面上に，放物線$C:y=x^2-2x+1$と点$\mathrm{A}(1,-1)$がある．$\mathrm{A}$を通る$C$の接線のうち，傾きが負のものを$l$とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$に関して，$C$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{5}{4}},{\displaystyle \frac{1}{16}})$と線対称な点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求め，$C\text{，}l\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を同一平面上に図示せよ．

(3)　$l$に関して，$y$軸と線対称な直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．

(4)　$l$に関して，$C$と線対称な曲線を$D$とする．$D$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．