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2011-14861-0101
2011 同志社大学 文化情報学部理系,理工学部,生命医科学部理系,心理学部理系,スポーツ健康科学部理系
全学部日程2月4日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.
(1) 定数 A , B ,C を
x2+5 ( x+1) 2⁢ (x- 2) = A( x+1) 2+ B x+1 +C x-2
が成立するように選ぶと
A= ア , B= イ , C= ウ
である.したがって
∫ 01⁡ x2+ 5( x+1) 2⁢( x-2) ⁢ dx= エ
である.
2011-14861-0102
(2) 3 個のサイコロを同時に投げるとき,出る目の最大数が 5 以下になる確率は オ , 4 以下になる確率は カ である.これより,出る目の最大数がちょうど 6 になる確率は キ , ちょうど 5 になる確率は ク である.したがって, 3 個のサイコロを同時に投げるときに,出る目の最大数の期待値は ケ である.
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【2】 原点を O とする座標平面内で行列
A=( ab cd )
の表す 1 次変換 f を考える.この f によって, P( 1,0) ,Q (0 ,1) が移る点をそれぞれ P′ , Q ′ とすると,線分 O P′ と線分 O Q′ の長さが等しいとする.また, f によって,点 ( 1,2 ) はそれ自身に移るとする.次の問いに答えよ.
(1) a ,c の満たす条件を求めよ.また,この条件を満たす図形を ac 平面に図示せよ.
(2) 1 次変換 f によって,点 R (1 ,1) が移る点を R ′ とする.また,線分 O R′ の長さを r とする. r の最大値および最小値とそのときの a , c の値,および点 R ′ の座標をそれぞれ求めよ.
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【3】 座標空間の原点 O を中心とする半径 1 の球面上に互いに異なる 3 点 A , B , C を取り,
α=∠ AOC ,β= ∠BOC ,θ= ∠AOB
とおく.ただし,点 C の座標は (0 ,0,1 ) とし, 0≦α ≦π ,0<β ≦π ,0 <θ≦ π とする.次の問いに答えよ.
(1) OA→ =(a 1,a 2,a 3) とするとき,
a3 ,a 12+ a22
を α で表せ.また, OB→ =(b 1,b2 ,b3 ) とするとき,
b3 ,b 12+ b22
を β で表せ.
(2) 内積 OA →⋅ OB→ と cos⁡ (α+ β) の大小を判定せよ.ただし,等号成立条件は述べなくてよい.
(3) 上の(2)の結果を用いて, θ と α +β の大小を判定せよ.ただし,等号成立条件は述べなくてよい.
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【4】 数列
a1= 2 ,a2 =2 2 , a3= 2 22 ,a4 =2 2 22 , ⋯
は漸化式
an+ 1= (2 )a n ( n=1 , 2 ,3 ,⋯)
を満たしている. f⁡( x)= ( 2) x として次の問いに答えよ.
(1) 0≦x≦ 2 における f⁡ (x ) の最大値と最小値を求めよ.
(2) 0≦x≦ 2 における f ′⁡ (x ) の最大値と最小値を求めよ.
(3) 0<an <2 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯) が成立することを数学的帰納法を用いて示せ.
(4) 0<2- an+ 1<( log⁡2) ⁢(2 -an )( n= 1 ,2 ,3 ,⋯) が成立することを示せ.
(5) limn→ ∞⁡ an を求めよ.