2011 同志社大 理系学部2月4日実施MathJax

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2011 同志社大学 文化情報学部理系,理工学部,生命医科学部理系,心理学部理系,スポーツ健康科学部理系

全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(1) 定数 A B C

x2+5 ( x+1) 2 (x- 2) = A( x+1) 2+ B x+1 +C x-2

が成立するように選ぶと

A= B= C=

である.したがって

01 x2+ 5( x+1) 2( x-2) dx=

である.

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全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(2)  3 個のサイコロを同時に投げるとき,出る目の最大数が 5 以下になる確率は 4 以下になる確率は である.これより,出る目の最大数がちょうど 6 になる確率は ちょうど 5 になる確率は である.したがって, 3 個のサイコロを同時に投げるときに,出る目の最大数の期待値は である.

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全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【2】 原点を O とする座標平面内で行列

A=( ab cd )

の表す 1 次変換 f を考える.この f によって, P( 1,0) Q (0 ,1) が移る点をそれぞれ P Q とすると,線分 O P と線分 O Q の長さが等しいとする.また, f によって,点 ( 1,2 ) はそれ自身に移るとする.次の問いに答えよ.

(1)  a c の満たす条件を求めよ.また,この条件を満たす図形を ac 平面に図示せよ.

(2)  1 次変換 f によって,点 R (1 ,1) が移る点を R とする.また,線分 O R の長さを r とする. r の最大値および最小値とそのときの a c の値,および点 R の座標をそれぞれ求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 座標空間の原点 O を中心とする半径 1 の球面上に互いに異なる 3 A B C を取り,

α= AOC β= BOC θ= AOB

とおく.ただし,点 C の座標は (0 ,0,1 ) とし, 0α π 0<β π 0 <θ π とする.次の問いに答えよ.

(1)  OA =(a 1,a 2,a 3) とするとき,

a3 a 12+ a22

α で表せ.また, OB =(b 1,b2 ,b3 ) とするとき,

b3 b 12+ b22

β で表せ.

(2) 内積 OA OB cos (α+ β) の大小を判定せよ.ただし,等号成立条件は述べなくてよい.

(3) 上の(2)の結果を用いて, θ α +β の大小を判定せよ.ただし,等号成立条件は述べなくてよい.

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【4】 数列

a1= 2 a2 =2 2 a3= 2 22 a4 =2 2 22

は漸化式

an+ 1= (2 )a n n=1 2 3

を満たしている. f( x)= ( 2) x として次の問いに答えよ.

(1)  0x 2 における f (x ) の最大値と最小値を求めよ.

(2)  0x 2 における f (x ) の最大値と最小値を求めよ.

(3)  0<an <2 n=1 2 3 が成立することを数学的帰納法を用いて示せ.

(4)  0<2- an+ 1<( log2) (2 -an ) n= 1 2 3 が成立することを示せ.

(5)  limn an を求めよ.

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