2011　同志社大　文系2月7日MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲の実数$\theta$が方程式${\log }_{10}(\sin 2\theta )=2{\log }_{10}(\sin \theta )+{\log }_{10}4$を満たしているとき，$\tan \theta$の値は$\boxed{\text{ア}}$であり，また，そのとき，${\log }_{10}(\cos \theta )$の値は${\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{イ}}{\log }_{10}2-1)$と表される．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　数列$\{a_n\}$は漸化式$a_{n+1}=3a_n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たし，初項は$a_1=1$である．このとき，$a_2=2\text{，}{a}_3=\boxed{\text{ウ}}$である．$\beta =\boxed{\text{エ}}$とし，$b_n=a_n-\beta \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくと数列$\{b_n\}$は公比$3$の等比数列であるから，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{オ}}$と表せる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　$xy$平面上に放物線$P:y=x^2-6x+11$がある．不等式$0\leqq x\leqq 6\text{，}0\leqq y\leqq 6$の表す領域の中で放物線$P$より下側の部分の面積を$36$で割った比の値は$\boxed{\text{カ}}$である．

　サイコロを$1$回投げて出た目を$x\text{，}$もう$1$回投げて出た目を$y$とするとき，点$(x-{\displaystyle \frac{1}{2}},y-{\displaystyle \frac{1}{2}})$が放物線$P$より下側にある確率は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(4)　一辺の長さが$x$の正方形を底面とする直方体を作る．ただし，底面以外の$5$つの面の面積の和が$48$になるようにする．この直方体の体積$V$は$x$を用いて，$V=\boxed{\text{ク}}$と表せる．${\displaystyle \frac{dV}{dx}}=\boxed{\text{ケ}}$より，$V$の最大値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　関数$f(x)=|{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-x|$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフを描け．

(2)　$c$を$0<c\leqq 1$を満たす定数とするとき，$f(x)\geqq c$を満たす$x$の範囲を求めよ．

(3)　$x$が(2)の範囲にあるとき，${\displaystyle \frac{1}{|x|}}$の最大値を$c$を用いて表せ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$とすると，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}\text{，}$線分$\mathrm{AP}$の長さがそれぞれ$4\text{，}8\text{，}\sqrt{19}$である．また，点$\mathrm{P}$を通る直線$l$が直線$\mathrm{AB}$と点$\mathrm{D}$で，直線$\mathrm{AC}$と点$\mathrm{E}$で交わっていて，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=u\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AE}}=w\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表すとき，$u\text{，}w$は正の実数であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(4)　$▵\mathrm{ADE}$の面積$S$を$u$の式で表せ．

(5)　$u$のとり得る値の範囲を求め，$S$の最小値を求めよ．