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2011-14861-0501
2011 同志社大学 文化情報学部理系,生命医科学部理系
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号の付いた の中に記入せよ.
(1) 1 から 5 までの異なる整数の書かれた 5 枚のカードから 2 枚を同時に引く.このとき,引いた 2 枚のカードに書かれた数の和が 6 である確率は, ア であり,引いた 2 枚のカードに書かれた数の積が 6 である確率は, イ である.また,引いた 2 枚のカードに書かれた数の和の期待値は, ウ であり,引いた 2 枚のカードに書かれた数の積の期待値は, エ である.
2011-14861-0502
(2) f⁡( x)= (x2 -x+1 )⁢ e-x の第 2 次までの導関数は, f′ ⁡( x)= オ ,f ″⁡ (x) = カ である.したがって, f⁡( x) は x = キ で極大値 ク をとり, x= ケ で極小値 コ をとる.
2011-14861-0503
【2】 ▵OAB の重心を G とし,
a→ =OA→ ,b→ =OB →
とする.次の問いに答えよ.
(1) OG→ を a → ,b→ を用いて表せ.
(2) 線分 OA 上に点 X をとり,直線 XG と直線 OB が点 Y で交わるとする.
OX→ =x⁢ a→ , OY→ =y⁢ b→
とおくとき,実数 y を実数 x を用いて表せ.また,交点 Y が線分 OB 上にあるための, x の範囲を求めよ.
(3) x の範囲は(2)で求めたものとする. ▵OAB と ▵ OXY の面積をそれぞれ, S ,T とするとき, TS を x を用いて表せ.
(4) x の範囲は(2)で求めたものとする. T S の最小値とそのときの x の値を求めよ.
2011-14861-0504
【3】 次の問いに答えよ.
(1) k=1 ,2 ,3 ,⋯ に対し ∫0 π⁡ cos⁡k⁢ x⁢dx を計算せよ.
(2) k=1 , 2 ,3 ,⋯ に対し ∫0 π⁡ cos2⁡ k⁢x⁢ dx を計算せよ.
(3) 互いに異なる j= 1, 2 ,3 ,⋯ と k= 1, 2, 3, ⋯ に対し ∫0 π⁡ cos⁡j⁢ x⁢cos⁡ k⁡x⁢ dx を計算せよ.
(4) n=1 ,2 ,3 ,⋯ に対し ∫0 π⁡ ( 1+ ∑ k=1n ⁡k ⁡cos⁡k x) 2⁢dx の値を推測し,それを数学的帰納法で証明せよ.
2011-14861-0505
【4】 数列 { In } を
In= ∫ 1e⁡ (log ⁡x) n⁢d x ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定める.次の問いに答えよ.
(1) I1 の値を求めよ.
(2) 部分積分法により
In+ 1=- (n+ 1)⁢ In+ e ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
を示せ.また, I2 , I3 の値を求めよ.
(3) log⁡x の 1< x≦e における最大値と最小値を求め, {I n} について
0<In <e- 1 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
を示せ.
(4) 整数値をとる数列 { an} ,{ bn} を
In= an⁢ e+bn ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定める. b1 , b2 , b3 の価を求めよ.さらに { bn } の一般項を求めよ.
(5) 上の(4)で定めた { an} ,{ bn} について,次の極限値を求めよ.
limn→ ∞⁡ a nbn