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2011-14861-0901
2011 同志社大学 理工学部2月10日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.
(1) 曲線 y= 3x 上の点 P (a ,3a ) における接線の方程式は y = ア であり,また,法線の方程式は y = イ である.
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(2) 行列 A , E を
A=( -7 40 -211 ) ,E= ( 10 01 )
とする.行列
A-k⁢ E=( -7- k40 -2 11-k )
が逆行列を持たない k の値を, k1 ,k2 ( k 1<k 2 ) とすると, k1 = ウ ,k 2= エ である.
A⁢( a 1 )=k 1⁢ ( a1 ) ,A⁢ ( b 1) =k2 ⁢( b 1 )
を満たす a , b は, a= オ , b= カ であり,この a , b に対し,
B=( a b1 1 )
とおき, B-1 ⁢A⁢ B を利用すれば,正の整数 n に対して
An= ( キ ク ケ コ )
となる.
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【2】 実数 a が a> e を満たすとし,曲線 y =log⁡x ( x> 0) 上に定点 A (1 ,0) ,B (e ,1) と点 P (a ,log⁡a ) をとる.また, x 軸上に点 Q (a ,0) をとる.次の問いに答えよ.
(1) 曲線 y= log⁡x 上の点 B における接線 l の方程式を求めよ.
(2) 上の(1)で求めた接線 l , 曲線 y= log⁡x , 直線 x =1 ,x= a で囲まれる部分の面積 S1⁡ (a ) を求めよ.
(3) lima→ ∞⁡ S1⁡ (a) a2 を求めよ.(必要なら lim a→∞ ⁡ log ⁡aa =0 を使ってよい.)
(4) 曲線 y= log⁡x と線分 AP で囲まれる部分の面積 S 2⁡( a) を求めよ.
(5) ▵APQ の面積 S 3⁡( a) と
lima→ ∞⁡ S2⁡ (a) S3 ⁡(a )
を求めよ.
2011-14861-0904
【3】 実数 a , b は a> 0 ,b> 1 を満たすとする. 2 曲線
C1: x2- y 2a2 =1 , C2: x2 b2 +y2 =1
の第 1 象限における交点を P (s ,t) とし, P における 2 曲線 C 1 と C2 の接線をそれぞれ L1 ,L2 とする.次の問いに答えよ.
(1) s および t を a , b を用いて表せ.
(2) 2 直線 L 1 ,L2 が直交するとき, b を a で表せ.
(3) 実数 a , b が(2)の条件を満たしながら変化するとき, P の軌跡を求めよ.
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【4】 実数 a (0≦ a≦ π3 ) に対し
f⁡( x)= 3⁢sin⁡ ( x3 ) +sin⁡( a-x) ( 0≦x≦ π)
とする.次の問いに答えよ.
(1) 4⁢sin⁡ π 12 の値を求めよ.また, 4⁢sin⁡ π12 と 3 のどちらが大きいかを判定せよ.
(2) f′( x)= 0 となる x ( 0< x<π ) を求めよ.
(3) f⁡( x) ( 0≦x≦ π ) の最大値 M⁡ (a ) と最小値 m⁡ (a ) を求めよ.
(4) M⁡( a) と m ⁡(a ) (0≦ a≦ π3 ) のそれぞれについて最大値と最小値を求めよ.