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2011 同志社大学 理工学部2月10日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(1) 曲線 y= 3x 上の点 P (a ,3a ) における接線の方程式は y = であり,また,法線の方程式は y = である.

2011 同志社大学 理工学部2月10日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(2) 行列 A E

A=( -7 40 -211 ) E= ( 10 01 )

とする.行列

A-k E=( -7- k40 -2 11-k )

が逆行列を持たない k の値を, k1 k2 k 1<k 2 とすると, k1 = k 2= である.

A( a 1 )=k 1 ( a1 ) A ( b 1) =k2 ( b 1 )

を満たす a b は, a= b= であり,この a b に対し,

B=( a b1 1 )

とおき, B-1 A B を利用すれば,正の整数 n に対して

An= ( )

となる.

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【2】 実数 a a> e を満たすとし,曲線 y =logx x> 0 上に定点 A (1 ,0) B (e ,1) と点 P (a ,loga ) をとる.また, x 軸上に点 Q (a ,0) をとる.次の問いに答えよ.

(1) 曲線 y= logx 上の点 B における接線 l の方程式を求めよ.

(2) 上の(1)で求めた接線 l 曲線 y= logx 直線 x =1 x= a で囲まれる部分の面積 S1 (a ) を求めよ.

(3)  lima S1 (a) a2 を求めよ.(必要なら lim a log aa =0 を使ってよい.)

(4) 曲線 y= logx と線分 AP で囲まれる部分の面積 S 2( a) を求めよ.

(5)  APQ の面積 S 3( a)

lima S2 (a) S3 (a )

を求めよ.

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【3】 実数 a b a> 0 b> 1 を満たすとする. 2 曲線

C1: x2- y 2a2 =1 C2: x2 b2 +y2 =1

の第 1 象限における交点を P (s ,t) とし, P における 2 曲線 C 1 C2 の接線をそれぞれ L1 L2 とする.次の問いに答えよ.

(1)  s および t a b を用いて表せ.

(2)  2 直線 L 1 L2 が直交するとき, b a で表せ.

(3) 実数 a b が(2)の条件を満たしながら変化するとき, P の軌跡を求めよ.

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【4】 実数 a (0 a π3 ) に対し

f( x)= 3sin ( x3 ) +sin( a-x) 0x π

とする.次の問いに答えよ.

(1)  4sin π 12 の値を求めよ.また, 4sin π12 3 のどちらが大きいかを判定せよ.

(2)  f( x)= 0 となる x 0< x<π を求めよ.

(3)  f( x) 0x π の最大値 M (a ) と最小値 m (a ) を求めよ.

(4)  M( a) m (a ) (0 a π3 ) のそれぞれについて最大値と最小値を求めよ.

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