2011　立命館大学　文系学部Ａ方式2月1日実施MathJax

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2011　立命館大学　文系学部Ａ方式2月1日実施

易□　並□　難□

【１】

(1)　 $x$ がすべての実数値をとりながら変化するとき，関数 $f (x) = 2 \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$ の最小値は $x = ア$ のとき $イ$ である．また， $- 2 ≦ x ≦ 4$ における関数 $f (x)$ の最大値は $x = ウ$ のとき $エ$ である． $a ≦ x ≦ 4$ （ただし， $a < 4$ ）における関数 $f (x)$ の最大値が $f (a)$ となる定数 $a$ の値の範囲は $a ≦ オ$ である．

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易□　並□　難□

【１】

(2)　 $3$ 辺の長さが $AB = 3 ， BC = 4 ， CA = 2$ である $▵ ABC$ がある． $▵ ABC$ の内接円の中心を $I ，$ 内接円と辺 $BC$ の接点を $H ， AI$ の延長と辺 $BC$ の交点を $D$ とする．

　このとき， $BD : DC = カ : キ$ より $BD$ の長さは $ク$ となり， $BH$ の長さが $ケ$ であることから $DH$ の長さは $コ$ となる．また， $\vec{AI} = サ \vec{AD}$ である．このことより， $▵ AIH$ の面積は $▵ ABC$ の面積の $シ$ 倍であることがわかる．

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易□　並□　難□

【１】

(3)　次のようなコイン投げのゲームを行う．

　はじめに $4$ 枚のコインを投げ，表の出たコインがあれば， $2$ 回目には，表の出たコインのみを投げる． $3$ 回目以降も同様に投げることとする．こうして，ある回で裏のみが出たところで，このゲームは終了となる．

　 $1$ 回目でゲームが終了する確率は $ス$ である． $1$ 回目でゲームが終了しない確率は $セ$ である．また， $2$ 回目でゲームが終了する確率は $ソ$ である． $2$ 回投げてもゲームが終了しない確率は $タ$ である． $2$ 回目で表が $1$ 枚だけ出る確率は $チ$ である．

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【２】　ある漁業資源の漁獲量 $y$ が漁船の操業規模 $x$ を用いて，

$y = - x^{2} + 10 x （ 0 < x ≦ 10 ）$

で表される．漁獲量 $1$ 単位当たり $1$ 万円で販売することができるため，漁業者の総収入は $y$ 万円となる．

　ただし，漁獲には $z$ 万円が諸費用として必要であり， $z$ は操業規模 $x$ を用いて，

$z = 2 x$

で表される．

(1)　漁獲量を最大にする操業規模は $ツ$ であり，そのときの漁獲量は $テ，$ 利益は $ト$ 万円となる．

(2)　漁業者が操業規模を増やしていくと，操業規模が $ナ$ のとき利益が $0$ となり，そのときの漁獲量は $ニ$ となる．

(3)　利益を最大にする操業規模は $ヌ$ であり，そのときの漁獲量は $ネ，$ 利益は $ノ$ 万円となる．

(4)　以上より，利益が $0$ となるときの操業規模は，利益を最大にする操業規模の $ハ$ 倍となる．

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【３】　放物線 $C : y = x^{2}$ がある．これについて次の問いに答えよ．

(1)　傾き $m$ の接線の方程式を求めよ．

(2)　放物線 $m$ の直交する $2$ 本の接線の交点 $P$ の軌跡を求めよ．

(3)　(2)で求めた軌跡上の点で， $x$ 座標が $t$ である点を $T$ とする． $T$ から放物線 $C$ に引いた $2$ 本の接線の接点を $T_{1} ， T_{2}$ とするとき， $▵ T T_{1} T_{2}$ の面積を求めよ．

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