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2011-14891-0201
2011 立命館大学 文系学部A方式
2月2日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 放物線 y= x2⋯ ① 上の異なる 2 点 (- 2,4) ,(a ,a2 ) における接線をそれぞれ ② , ③ とすると, ② の方程式は y = ア , ③ の方程式は y = イ である.この 2 直線の交点の座標は ( ウ , エ ) で,放物線 ① と 2 直線 ② , ③ で囲まれた図形の面積は オ であり,この面積の値が 18 となるときの定数 a の値は カ である.
ただし, a>-2 とする.
2011-14891-0202
(2) 1 から 200 までの自然数のうち, 4 で割ると 1 余る数の集合を A ,7 で割ると 2 余る数の集合を B とする.共通部分 A ∩B の要素で最も小さい数は キ , 最も大きい数は ク である.
A∩ B の要素を小さい数から順に a 1 ,a2 , a3 ,⋯ とおくと,数列 { an } は公差 ケ , 項数 コ の等差数列であり,一般項は an= サ ⁢ n+ シ と表される.また,数列 { an } の項をすべて加えると ス となる.
2011-14891-0203
(3) 平面上で合同な正 n 角形 m 個を, 1 点の周りに隙間なく敷き詰めることができたとする.このとき, 1 n+ 1 m= セ であり,この式を満たす ( n,m } の組み合わせは, ( ソ , タ ) ( チ , ツ ) ( テ , ト ) である.ただし, ソ < チ < テ とする.
2011-14891-0204
【2】 ある企業が原油を q 単位生産するとき,その原油を単価 p =4-a ⁢q で販売することができる( a は正の定数).ただし,この企業は原油を 1 単位生産するのに c の費用を必要とする(ただし, 0<c <4 ).
このとき,この企業の利益を a , c ,q を用いて表すと ナ となる.したがって,利益を最大にする生産量 q は ニ , そのときの利益は ヌ である.
次に,この企業が生産する原油について広告を行うと,単価は p =6-a ⁢q と変化する.また,広告に必要な費用は生産量に関わらず e である.このとき,利益を最大にする生産量は ネ に変化する.
この企業が利益を最大化するためには,広告に必要な費用が e ≦ ノ の場合は広告を行い,反対に e > ノ の場合は広告を行わないことが求められる.
2011-14891-0205
【3】 平面上に 1 辺の長さが a の正三角形 ABC と点 P がある.点 A , B , C , P の位置ベクトルをそれぞれ a→ ,b → ,c → ,p→ とするとき,点 P は
4⁢p →=( 2+t) ⁢a→ +(1 +t) ⁢b→ +(1 -2⁢t )⁢ c→
という関係を保って動くものとする(ただし, t は実数).
(1) AP→ を AB → ,AC→ を用いて表せ.
(2) 線分 AP と線分 BC が平行となるとき, t の値を求めよ.また,このとき, 4 点 A , B , C , P が作る台形の面積を求めよ.
(3) 点 P が線分 AB 上にあるとき, t の値を求めよ.また,このとき,点 P は線分 AB をどのような比に分けるか.
(4) 点 P の軌跡のうち, ▵ABC の内部にある線分の長さを求めよ.