2011　立命館大　文系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　放物線$y=x^2\cdots \text{①}$上の異なる$2$点$(-2,4)\text{，}(a,a^2)$における接線をそれぞれ$\text{②}\text{，}\text{③}$とすると，$\text{②}$の方程式は$y=\boxed{\text{ア}}\text{，}\text{③}$の方程式は$y=\boxed{\text{イ}}$である．この$2$直線の交点の座標は$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$で，放物線$\text{①}$と$2$直線$\text{②}\text{，}\text{③}$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{オ}}$であり，この面積の値が$18$となるときの定数$a$の値は$\boxed{\text{カ}}$である．

　ただし，$a>-2$とする．

【１】

(2)　$1$から$200$までの自然数のうち，$4$で割ると$1$余る数の集合を$\mathrm{A}\text{，}7$で割ると$2$余る数の集合を$\mathrm{B}$とする．共通部分$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$の要素で最も小さい数は$\boxed{\text{キ}}\text{，}$最も大きい数は$\boxed{\text{ク}}$である．

　$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$の要素を小さい数から順に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$とおくと，数列$\{a_n\}$は公差$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$項数$\boxed{\text{コ}}$の等差数列であり，一般項は$a_n=\boxed{\text{サ}}n+\boxed{\text{シ}}$と表される．また，数列$\{a_n\}$の項をすべて加えると$\boxed{\text{ス}}$となる．

【１】

(3)　平面上で合同な正$n$角形$m$個を，$1$点の周りに隙間なく敷き詰めることができたとする．このとき，${\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{m}}=\boxed{\text{セ}}$であり，この式を満たす$(n,m\}$の組み合わせは，$(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})(\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}})$である．ただし，$\boxed{\text{ソ}}<\boxed{\text{チ}}<\boxed{\text{テ}}$とする．

【２】　ある企業が原油を$q$単位生産するとき，その原油を単価$p=4-aq$で販売することができる（$a$は正の定数）．ただし，この企業は原油を$1$単位生産するのに$c$の費用を必要とする（ただし，$0<c<4$）．

　このとき，この企業の利益を$a\text{，}c\text{，}q$を用いて表すと$\boxed{\text{ナ}}$となる．したがって，利益を最大にする生産量$q$は$\boxed{\text{ニ}}\text{，}$そのときの利益は$\boxed{\text{ヌ}}$である．

　次に，この企業が生産する原油について広告を行うと，単価は$p=6-aq$と変化する．また，広告に必要な費用は生産量に関わらず$e$である．このとき，利益を最大にする生産量は$\boxed{\text{ネ}}$に変化する．

　この企業が利益を最大化するためには，広告に必要な費用が$e\leqq \boxed{\text{ノ}}$の場合は広告を行い，反対に$e>\boxed{\text{ノ}}$の場合は広告を行わないことが求められる．

【３】　平面上に$1$辺の長さが$a$の正三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{P}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{p}$とするとき，点$\mathrm{P}$は

$4\overrightarrow{p}=(2+t)\overrightarrow{a}+(1+t)\overrightarrow{b}+(1-2t)\overrightarrow{c}$

という関係を保って動くものとする（ただし，$t$は実数）．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$が平行となるとき，$t$の値を求めよ．また，このとき，$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{P}$が作る台形の面積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上にあるとき，$t$の値を求めよ．また，このとき，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$をどのような比に分けるか．

(4)　点$\mathrm{P}$の軌跡のうち，$▵\mathrm{ABC}$の内部にある線分の長さを求めよ．