2011　立命館大　文系Ａ2月3日MathJax

【１】

(1)　$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフを$y$軸に関して対称移動したグラフで表される$2$次関数は，最小値が$1$で，点$(-2,3)$で直線$y=-4x-5$と接する．このとき定数$a\text{，}b\text{，}c$の値は，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(2)　$s\text{，}t$を実数とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(4,2)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,3)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と定める（ただし，$\mathrm{O}$は原点）．このとき，$▵\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{エ}}$である．$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0$のとき，$s+t=2$を満たす点$\mathrm{P}$が存在する範囲の線分の長さは$\boxed{\text{オ}}$であり，$2\leqq s+t\leqq 3$を満たす点$\mathrm{P}$が存在する範囲の面積は$\boxed{\text{カ}}$である．また，$s\text{，}t$がすべての実数をとるとき，$2s+t=1$を満たす点$\mathrm{P}$が存在する範囲を表す直線の方程式は$y=\boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}}$である．

【１】

(3)　ある大学で$1$年生と$2$年生に対して，$2010$年$8$月の図書館の利用状況について調査した．その結果，$1$年生と$2$年生の図書館利用者の合計は$928$人であった．男子学生の利用者は$415$人で，うち$285$人が$1$年生であった．$1$年生の利用者は$500$人で，このうち$150$人は図書館で本を借りていなかった．また，図書館で本を借りたのは$468$人で，このうち男子学生は$288$人であった．最後に，図書館を利用したものの本を借りなかった$2$年生の女子学生の人数は，図書館で本を借りた$1$年生の男子学生の人数の$5$分の$4$であった．

　このとき，図書館を利用したものの本を借りなかった女子学生は$\boxed{\text{ケ}}$人であり，図書館を利用したものの本を借りなかった$1$年生の男子学生は$\boxed{\text{コ}}$人である．また，図書館で本を借りた$2$年生の女子学生は$\boxed{\text{サ}}$人である．

【２】　いま，$2$つの国$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$において，人口と所得に関する調査を行った．その調査をもとにして，全国民を所得の低いほうから順に並べた．このとき，所得の低い方から$x$の割合（人口割合）の国民が獲得している所得の合計が全国民の所得の合計に占める割合（所得割合）を$y$として分析した．その結果，$\mathrm{A}$国では，$y$が$x$の$1$次関数になること，$\mathrm{B}$国では，$y$が$x$の$2$次関数になることが判明した．また，$\mathrm{B}$国では，人口割合が$0.5$のとき，所得割合が$0.35$であることも分かっている．ただし，$0\leqq x\leqq 1$および$0\leqq y\leqq 1$である．

(1)　両国とも，人口割合が$0$のとき，所得割合は$0$であること，そして人口割合が$1$のとき，所得割合は$1$であることにより，横軸に人口割合，縦軸に所得割合をとった平面上において，$x$と$y$の関係を表すグラフは，$(x,y)=(\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{シ}})$と$(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{ス}})$を必ず通ることになる（ただし，$\boxed{\text{シ}}<\boxed{\text{ス}}$）．

(2)　したがって，$\mathrm{A}$国では

$y=\boxed{\text{セ}}x+\boxed{\text{ソ}}\cdots \text{①}$

という関係になり，$\mathrm{B}$国では

$y=\boxed{\text{タ}}{x}^2+\boxed{\text{チ}}x+\boxed{\text{ツ}}\cdots \text{②}$

となる．

　ここで，$\text{①}$と$\text{②}$によって囲まれた部分の面積を求めると$\boxed{\text{テ}}$となり，この面積が直線$x=1\text{，}$直線$\text{①}$および$x$軸によって囲まれた部分の面積に占める割合は$\boxed{\text{ト}}$となる．

【３】(1)　数学的帰納法を用いて，次の等式を証明せよ．

$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3={\left\{{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\right\}}^2$

(2)　$x$の$2$次関数

$f(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(k{x}^2-k^{2}x+4k^3)$

について考える．

(a)　$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値は，$n(n+1)=l$とおき，自然数$l$の式で表せ．

(b)　変数$x$が整数の値のみをとるとき，$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値は(a)と同様に自然数$l$の式で表せ．