2011　立命館大　薬Ａ2月2日MathJax

【１】

(1)　放物線$y=a{x}^2+b\text{（}a\ne 0\text{）}$上に，点$\mathrm{P}(p,a{p}^2+b)$と点$\mathrm{Q}(q,a{q}^2+b)$がある．ただし$p>0\text{，}q<0$とする．点$\mathrm{P}$における放物線の接線$l_{\mathrm{P}}$と，点$\mathrm{Q}$における放物線の接線$l_{\mathrm{Q}}$の交点の座標は，$\boxed{\text{ア}}$となる．

　接線$l_{\mathrm{P}}$と$l_{\mathrm{Q}}$が直交するとき，交点の座標は$a\text{，}b\text{，}p$を用いて，$\boxed{\text{イ}}$とあらわせる．特に$a={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}b=3$の場合，$p=2$のときの交点と，$p=4$のときの交点との距離は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(2)　座標平面上に，点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(-a,0)\text{，}$点$\mathrm{P}(x,x^2+3)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は，$a\text{，}x$を用いてあらわすと，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\boxed{\text{エ}}$である．

　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$が直交するとき，$x^2=t$とおくと，$t$に関する方程式$\boxed{\text{オ}}=0$が成り立つ．方程式$\boxed{\text{オ}}=0$が$0$以上の解を持つための$a$の条件は，$\boxed{\text{カ}}\leqq 0$である．これを解くと，$a\leqq \boxed{\text{キ}}$または$a\geqq \boxed{\text{ク}}$となる．

【１】

(3)　$n$を自然数とする．$x$についての$3$次方程式$x^3+n{x}^2+(n-6)x-2=0$の$1$つの解が自然数であるとき，自然数の解は$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$他の$2$解は$\boxed{\text{コ}}\text{，}\boxed{\text{サ}}$となる．

【１】

(4)　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に点$\mathrm{A}$がある．$x$軸と円の$2$つの交点$(-1,0)\text{，}(1,0)$をそれぞれ$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{AOC}=\alpha$とする．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．このとき，直線$\mathrm{AO}$に関して，点$\mathrm{C}$と対称な点を${\mathrm{C}}^{\prime }$とし，線分$\mathrm{AB}$と$\mathrm{O}{\mathrm{C}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{D}$とする．

(a)　$\angle \mathrm{ABC}=\beta$とする．$\tan 2\alpha \text{，}\tan \beta$を$\sin \alpha \text{，}\cos \alpha$を用いて表すと，

$\tan 2\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }}\text{，}\tan \beta ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\boxed{\text{ス}}}}$

となる．

(b)　$▵\mathrm{BOD}$の面積$S_{\mathrm{BOD}}$を$\sin \alpha \text{，}\cos \alpha$を用いて表すと，

$S_{\mathrm{BOD}}={\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{\boxed{\text{セ}}}}$

となる．

【１】

(5)　$b$を実数とする．$x$についての$3$次方程式${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-b^{2}x+b=0$が異なる$3$つの実数解を持つとき，$b$の範囲は$\boxed{\text{ソ}}$である．

【２】　数直線上の$2$つの点列$\{{\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2,{\mathrm{A}}_3,\cdots ,{\mathrm{A}}_n,{\mathrm{A}}_{n+1},\cdots \}$と$\{{\mathrm{B}}_1,{\mathrm{B}}_2,{\mathrm{B}}_3,\cdots ,{\mathrm{B}}_n,{\mathrm{B}}_{n+1},\cdots \}$が次のように定められている．$n\geqq 1$に対して，点${\mathrm{A}}_{n+1}$は線分${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$を$2:1$に内分する点，点${\mathrm{B}}_{n+1}$は線分${\mathrm{B}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}$を$2:1$に内分する点とする．

　点${\mathrm{A}}_n$および点${\mathrm{B}}_n$の座標をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n$として，$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$について考える．

(1)　$a_1=1\text{，}{b}_1=4$とするとき，$a_2=\boxed{\text{タ}}\text{，}{b}_2=\boxed{\text{チ}}$となる．

(2)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n$を用いてあらわすと，$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\boxed{\text{ツ}})\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{9}}(\boxed{\text{テ}})$となる．

(3)　$n\geqq 1$のとき，$c_n=b_n-a_n$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$\boxed{\text{ト}}\text{，}$公比$\boxed{\text{ナ}}$の等比数列となり，一般項は$c_n=\boxed{\text{ニ}}$となる．

(4)　したがって$a_{n+1}$を$a_n$を用いてあらわすと，$a_{n+1}=\boxed{\text{ヌ}}$となる．

(5)　よって，数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$は$a_n={\displaystyle \frac{1}{4}}(\boxed{\text{ネ}})$となる．

【３】　$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に，それぞれ赤，白，白のボールが$1$つずつ入っている．「コインを投げて表であれば$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のボールを入れ換え，裏であれば$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$のボールを入れ換える」という試行を行う．$n$回の試行後に$\mathrm{A}$に赤いボールが入っている確率を$P_n(\mathrm{A})$とあらわし，同様に$n$回の試行後に$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に赤いボールが入っている確率をそれぞれ$P_n(\mathrm{B})\text{，}{P}_n(\mathrm{C})$とあらわすとする．なお，コインの表と裏が出る確率は等しいものとする．

(1)　$1$回の試行後に箱$\mathrm{A}$に赤いボールが入っている確率は$P_1(\mathrm{A})=\boxed{\text{ノ}}\text{，}2$回の試行後に箱$\mathrm{B}$に赤いボールが入っている確率は$P_2(\mathrm{B})=\boxed{\text{ハ}}\text{，}3$回の試行後に箱$\mathrm{C}$に赤いボールが入っている確率は$P_3(\mathrm{C})=\boxed{\text{ヒ}}$である．

(2)　$n+1$回の試行後に，箱$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$に赤いボールが入っている確率を$P_n(\mathrm{A})\text{，}{P}_n(\mathrm{C})$を用いてあらわすと$P_{n+1}(\mathrm{A})+P_{n+1}(\mathrm{C})=\boxed{\text{フ}}$となる．

(3)　$n$回の試行後に，箱$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$に赤いボールが入っている確率を$n$を用いてあらわすと$P_n(\mathrm{A})+P_n(\mathrm{C})=\boxed{\text{ヘ}}$となる．

(4)　$n$回の試行後に，箱$\mathrm{B}$に赤いボールが入っている確率を$n$を用いてあらわすと$P_n(\mathrm{B})=\boxed{\text{ホ}}$となる．

(5)　はじめに，箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$にそれぞれ赤，白，赤のボールが$1$つずつ入っている場合，$n$回の試行後に箱$\mathrm{B}$に白いボールが入っている確率を$n$を用いて表すと$P_n(\mathrm{B})=\boxed{\text{マ}}$となる．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，$x$軸上の点$\mathrm{P}(t+2,0)$と$y$軸上の点$\mathrm{Q}(0,-2t^2-2t+4)$を考える．ただし，$t\geqq 0$とする．

(1)　点$\mathrm{Q}$の$y$座標が$0$以上であるとき，$0\leqq t\leqq \boxed{\text{ミ}}$である．$t$が$0\leqq t\leqq \boxed{\text{ミ}}$の範囲で変化するとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標の範囲は$2\leqq x\leqq \boxed{\text{ム}}$となる．

　また，直線$\mathrm{PQ}$の方程式は，

$y=g_t(x)=\boxed{\text{メ}}x+\boxed{\text{モ}}$

となる．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq \boxed{\text{ミ}}$の範囲で変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する領域を$D$（すなわち，線分$\mathrm{PQ}$は領域$D$の内部を移動する）とし，領域$D$の面積を求めたい．ここで，$x$軸，$y$軸以外の領域$D$の境界を曲線$C$とする．

　曲線$C$の方程式を$y=f(x)$とすると，$f(x)$の定義域は$\boxed{\text{ヤ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ユ}}$となる．ある$x$に対して，$f(x)$は$t$が$0\leqq t\leqq \boxed{\text{ミ}}$の範囲で変化するときの$g_t(x)$の最大値として求められる．したがって，

$\boxed{\text{ヤ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ヨ}}$のとき，$f(x)=\boxed{\text{ラ}}$

$\boxed{\text{ヨ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ユ}}$のとき，$f(x)=\boxed{\text{リ}}$

となる．

　以上より，領域$D$の面積は$\boxed{\text{ル}}$となる．