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2011-14891-0601
2011 立命館大学 理系学部A方式
2月3日実施
易□ 並□ 難□
【1】 k を実数とする.関数 f⁡ (x) =x3 +k⁢x 2+k⁢ x が極大値および極小値をもつのは,
k> ア または k< イ ⋯ ①
のときである.このとき, f⁡( x) は x= a で極大値, x=b で極小値をとるとすると
a+b= ウ ,a⁢b = エ
であり,
f ⁡(a )-f ⁡(b )a -b = オ
である.
また,
T= f⁡( a)- f⁡( b) a3 -b3
とすると, T= カ であり, k が ① の範囲で変化するとき, T の範囲は
キ <T< ク , ク < T< ケ
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【2】 p ,q を 0< p<1 ,0<q <1 を満たす実数とする.数列 { an }, { bn} は,初項がそれぞれ a1= 1 ,b 1=0 であり, n≧1 で
an+ 1=( 1-p) ⁢an +q⁢b n
bn+ 1=p ⁢an +(1 -q) ⁢bn
を満たしている.
(1) 実数 K に対し, cn= an+ K⁢bn とする.数列 { cn} が,公比 r の等比数列になるのは, n≧1 で
( コ - r)⁢ an+ ( サ - r⁢K) ⁢bn =0⋯ ①
が成り立つときである.
ある実数 r があって, n=1 および n= 2 のとき, ① が成り立つとすれば, K=1 または K = シ である.
逆に, K=1 のときは r= 1 ,K= シ のときは r = ス とすると, n≧1 において ① が成り立つ.
数列 { cn} の初項から第 n 項までの和を S n とする. K=1 のときは Sn= セ , K= シ のときは Sn= ソ である.
(2) 数列 { an} と { bn} の極限は
limn→ ∞⁡ an= タ , limn→ ∞⁡ bn= チ
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【3】 f⁡( x)= ∫ 0x⁡ 11+ t2 ⁢ dt とする.
d dx ⁢f ⁡(x )= ツ , d dx ⁢( 1 +x1 -x )= テ ,
dd x⁢ { f⁡( 1 +x1 -x ) }= 1 2⁢ ト
である.さらに, - π2< x< π2 のとき
d dx ⁡{ f⁡{ 1+sin⁡ x1- sin⁡x ) }= ナ
であり, -π 2≦x < π2 において
f⁡ ( 1 +sin⁡x 1-sin ⁡x )= ニ +f⁡ (1)
が成り立つ.ここで, f⁡( 1)= ヌ である.また, -1≦ x<1 のとき
cos⁡ {2 ⁢f ( 1+x 1-x ) }= ネ である.
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【4】 2⁢a2 +2⁢ a⁢b+ b2= 3 を満たす実数 a , b を考える. a の範囲は
ノ ≦a≦ ハ
である. a=r⁢ cos⁡θ , b=r⁢ sin⁡θ ( r> 0 ) とおくとき, r2 を sin ⁡2⁢θ , cos⁡ 2⁢θ で表すと
r2= 3 ヒ
であり, r2 の値の範囲は
フ ≦r2 ≦ ヘ
である.また, 3⁢a+ b の値の範囲は
ホ ≦3⁢ a+b≦ マ
座標平面において,点 (a ,b) と直線 3⁢ x+y= 6 の距離を d とする. d のとり得る値の最小値は ミ である.