2011　立命館大　理系Ａ2月3日MathJax

【１】　$k$を実数とする．関数$f(x)=x^3+k{x}^2+kx$が極大値および極小値をもつのは，

$k>\boxed{\text{ア}}$または$k<\boxed{\text{イ}}\cdots \text{①}$

のときである．このとき，$f(x)$は$x=a$で極大値，$x=b$で極小値をとるとすると

$a+b=\boxed{\text{ウ}}\text{，}ab=\boxed{\text{エ}}$

であり，

${\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b}}=\boxed{\text{オ}}$

である．

　また，

$T={\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a^3-b^3}}$

とすると，$T=\boxed{\text{カ}}$であり，$k$が$\text{①}$の範囲で変化するとき，$T$の範囲は

$\boxed{\text{キ}}<T<\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ク}}<T<\boxed{\text{ケ}}$

である．

【２】　$p\text{，}q$を$0<p<1\text{，}0<q<1$を満たす実数とする．数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=1\text{，}{b}_1=0$であり，$n\geqq 1$で

$a_{n+1}=(1-p)a_n+q{b}_n$

$b_{n+1}=p{a}_n+(1-q)b_n$

を満たしている．

(1)　実数$K$に対し，$c_n=a_n+K{b}_n$とする．数列$\{c_n\}$が，公比$r$の等比数列になるのは，$n\geqq 1$で

$(\boxed{\text{コ}}-r)a_n+(\boxed{\text{サ}}-rK)b_n=0\cdots \text{①}$

が成り立つときである．

　ある実数$r$があって，$n=1$および$n=2$のとき，$\text{①}$が成り立つとすれば，$K=1$または$K=\boxed{\text{シ}}$である．

　逆に，$K=1$のときは$r=1\text{，}K=\boxed{\text{シ}}$のときは$r=\boxed{\text{ス}}$とすると，$n\geqq 1$において$\text{①}$が成り立つ．

　数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$K=1$のときは$S_n=\boxed{\text{セ}}\text{，}K=\boxed{\text{シ}}$のときは$S_n=\boxed{\text{ソ}}$である．

(2)　数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の極限は

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\boxed{\text{タ}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\boxed{\text{チ}}$

である．

【３】　$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}dt$とする．

${\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x)=\boxed{\text{ツ}}\text{，}{\displaystyle \frac{d}{dx}}\left({\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}\right)=\boxed{\text{テ}}\text{，}$

${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{f\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}}\right)\}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}}$

である．さらに，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき

${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{f\left\{\sqrt{{\displaystyle \frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}\right)\}=\boxed{\text{ナ}}$

であり，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において

$f\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}\right)=\boxed{\text{ニ}}+f(1)$

が成り立つ．ここで，$f(1)=\boxed{\text{ヌ}}$である．また，$-1\leqq x<1$のとき

$\cos \{2f\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}}\right)\}=\boxed{\text{ネ}}$である．

【４】　$2a^2+2ab+b^2=3$を満たす実数$a\text{，}b$を考える．$a$の範囲は

$\boxed{\text{ノ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{ハ}}$

である．$a=r\cos \theta \text{，}b=r\sin \theta \text{（}r>0\text{）}$とおくとき，$r^2$を$\sin 2\theta \text{，}\cos 2\theta$で表すと

$r^2={\displaystyle \frac{3}{\boxed{\text{ヒ}}}}$

であり，$r^2$の値の範囲は

$\boxed{\text{フ}}\leqq r^2\leqq \boxed{\text{ヘ}}$

である．また，$3a+b$の値の範囲は

$\boxed{\text{ホ}}\leqq 3a+b\leqq \boxed{\text{マ}}$

である．

　座標平面において，点$(a,b)$と直線$3x+y=6$の距離を$d$とする．$d$のとり得る値の最小値は$\boxed{\text{ミ}}$である．