2011　立命館大　文系Ａ2月7日MathJax

【１】

(1)　$2$次方程式$2x^2-4x+1=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$\alpha -{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\text{，}\beta -{\displaystyle \frac{1}{\beta }}$を解にもつ$2$次方程式は$2x^2+\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}=0$である．

　さらに，$3$次方程式$2x^3+ax+b=0$（$a\text{，}b$は定数）もまた$\alpha -{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\text{，}\beta -{\displaystyle \frac{1}{\beta }}$を解にもつとすると，$a=\boxed{\text{ウ}}\text{，}b=\boxed{\text{エ}}$であり，残る$1$つの実数解は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】

(2)　$2$次関数$y=-2x^2+2kx+3k+4$（$k$は定数）のグラフを$C$とする．

　放物線$C$の頂点が第$2$象限にあるとき，$k$のとりうる値の範囲は$k<\boxed{\text{カ}}$または$\boxed{\text{キ}}<k<\boxed{\text{ク}}$であり，区間$0\leqq x\leqq 3$における$y$の最大値は$\boxed{\text{ケ}}k+\boxed{\text{コ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{サ}}k+\boxed{\text{シ}}$である．また，この放物線$C$を$x$軸方向に$\boxed{\text{ス}}\text{，}y$軸方向に$\boxed{\text{セ}}$平行移動すると，原点を頂点とする放物線$y=\boxed{\text{ソ}}$となる．

【１】

(3)　数列$\{a_n\}$を$2\text{，}6\text{，}12\text{，}20\text{，}\cdots$とすると，この数列の一般項は$a_n=\boxed{\text{タ}}\text{，}$初項から第$n$項までの和は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{3}}$である．また，数列$\{b_n\}$を${\displaystyle \frac{1}{a_1}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{a_2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{a_3}}\text{，}\cdots$とすると，この数列の一般項は$b_n=\boxed{\text{ツ}}\text{，}$初項から第$n$項までの和は$\boxed{\text{テ}}$である．数列$\{c_n\}$を${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}\text{，}\cdots$とすると，この数列の一般項は$c_n={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ト}}}}\text{，}$初項から第$n$項までの和は$\boxed{\text{ナ}}$である．

【２】　ある直線の道路沿いの町で，$0$から$1$までの区間に均一かつ連続的に人が居住していると仮定し，各人が居住する地点を$x\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$で表す．この町で$\mathrm{P}$という店が営業を開始することになり，その地点を$p\text{（}0\leqq p\leqq 1\text{）}$で表す．

(1)　地点$x$に住む人の$\mathrm{P}$までの移動距離は$|x-p|$である．そこで，全住民の自宅から$\mathrm{P}$までの移動距離の合計を$C(p)={\displaystyle {\int }_0^1}|x-p|dx$で求めることにする．

　このとき$C(p)=\boxed{\text{ニ}}{p}^2+\boxed{\text{ヌ}}p+{\displaystyle \frac{1}{2}}$となり，$C(p)$が最小になるのは$p=\boxed{\text{ネ}}$のときである．

(2)　$\mathrm{P}$が$p=\boxed{\text{ネ}}$の地点に出店した後に，もう$1$つ$\mathrm{Q}$という店が$q$（$\boxed{\text{ネ}}\leqq q\leqq 1$）の地点で営業することになった．$2$つの店$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は同じものを同じ価格で販売しているので，この町の住民は自分の家から近い店で買い物をする．つまり$\boxed{\text{ノ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ハ}}$の地点に住む住民は$\mathrm{P}$で買い物をし，$\boxed{\text{ハ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ヒ}}$の地点に住む住民は$\mathrm{Q}$で買い物をする．

(3)　(2)のとき，この町の住民が買い物をする際の，全住民の自宅から$\mathrm{P}$または$\mathrm{Q}$までの移動距離の合計$D(q)$は，(1)の移動距離の合計の考え方を使って，$D(q)=\boxed{\text{フ}}{q}^2+\boxed{\text{ヘ}}q+{\displaystyle \frac{11}{16}}$となる．

　移動距離の合計が最小になるように$q$を決めるのであれば，$q=\boxed{\text{ホ}}$となり，$\mathrm{Q}$が自分の店に来る顧客数を最大にするように$q$を決めるのであれば，$q=\boxed{\text{マ}}$となる．

【３】　$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$で定まる平面上の任意の点を$\mathrm{P}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とする．$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$として，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は，実数$s\text{，}t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=-(s+t)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$と表されることを示せ．

(3)　「直線$l$が平面$\alpha$に交わっているとき，$l$が$\alpha$上の任意の直線と垂直ならば，$l$は$\alpha$と垂直である」という定義を用いて，$\mathrm{OG}$が平面$\mathrm{ABC}$と垂直であることを証明せよ．

(4)　$\mathrm{O}$から$▵\mathrm{ABC}$におろした垂線の長さを求め，正四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．