2011　立命館大　理系Ａ2月7日MathJax

【１】　座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上を動く$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．時刻$t$における$\mathrm{P}$の座標は，$(\cos t,\sin t)$である．$\mathrm{Q}$は$t=0$において$\mathrm{P}$と同じ位置にある．また，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{P}$の$2$倍の速さで$\mathrm{P}$と逆回りに動いている．

　時刻$t$における$\mathrm{Q}$の座標は，$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$であり，$0<t<2\pi$の範囲で$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ位置にあるのは，$t=\boxed{\text{ウ}}$のときである．$S_1$を$▵\mathrm{OPQ}$の面積とする．ただし，$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が一直線上にあるときは$S_1=0$と定める．$S_1$を$t$を用いて表すと，$\boxed{\text{エ}}$であり，これが$0<t<\pi$の範囲で最大になるのは，$t=\boxed{\text{オ}}$のときである．

　点$(-1,0)$に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．時刻$t$における$\mathrm{R}$の座標は，$(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$である．$S_2$を$▵\mathrm{OPR}$の面積とする．ここでも，$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}$が一直線上にあるときは$S_2=0$と定める．$S_2$を$t$を用いて表すと，$\boxed{\text{ク}}$であり，$0<t<\pi$の範囲で，$S_1=S_2$であるのは，$t=\boxed{\text{ケ}}$のときである．

【２】　$\boxed{\text{シ}}\text{，}\boxed{\text{セ}}$に適当な語句を入れなさい．また，必要なら$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を使いなさい．

(1)　${(x\log x)}^{\prime }=\boxed{\text{コ}}\text{，}{\displaystyle \int }\log xdx=\boxed{\text{サ}}+C$である．（ただし$C$は積分定数とする．）

(2)　$x>0$のとき

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+\frac{1}{2}}}|\log t|dt$

とする．

　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$f(x)$は単調に$\boxed{\text{シ}}$し，

$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=\boxed{\text{ス}}$

である．$x\geqq 1$のとき，$f(x)$は単調に$\boxed{\text{セ}}$し，

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{\log x}}=\boxed{\text{ソ}}$

であり，${\displaystyle \frac{1}{2}}<x<1$のときは，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{タ}}$である．

　$x>0$で$f(x)$が最小になるのは，$x=\boxed{\text{チ}}$のときである．

【３】　$A=\left(\begin{array}{cc}3& a\\ 1& 1\end{array}\right)$とし，$A^3-12A$は単位行列$E$の実数倍であるとする．

（注：$\boxed{}$には全て，$a$を含まない，数値または$n$の式を入れなさい．）

(1)　

$A^2=\boxed{\text{ツ}}A+\boxed{\text{テ}}E$

であり，$a=\boxed{\text{ト}}$である．$A$は逆行列を持ち，

$A^{-1}=\boxed{\text{ナ}}A+\boxed{\text{ニ}}E$

である．

(2)　$n$を自然数とする．$A^n={\{(A-2E)+2E\}}^n$を展開して，

$A^n=\boxed{\text{ヌ}}A+\boxed{\text{ネ}}E$

を得る．また，

${(A^n)}^{-1}=\boxed{\text{ノ}}A+\boxed{\text{ハ}}E$

である．

【４】　$a>0$とする．座標平面において$2$曲線

$C_1:y=x^2$

$C_2:y^2=a^{3}x$

を考える．

(1)　$2$曲線$C_1$と$C_2$は原点以外に共有点$(\boxed{\text{ヒ}},\boxed{\text{フ}})$を持ち，$2$曲線で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{ヘ}}$である．

(2)　$2$曲線$C_1$と$C_2$の両方に接する直線を$l$とする．$l$と曲線$C_1$は，点$\mathrm{P}(\boxed{\text{ホ}},\boxed{\text{マ}})$で接しており，$l$と曲線$C_2$は，点$\mathrm{Q}(\boxed{\text{ミ}},\boxed{\text{ム}})$で接している．

(3)　$a>0$の範囲で$a$が変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点の軌跡は曲線$y=\boxed{\text{メ}}$の$x<\boxed{\text{モ}}$の部分である．