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について考える.ただし,を実数とする.
(1) との共有点について考える.との式からを消去して得られる式は
と変形することができ,をそれぞれまたは数値を用いて表すと,
となる.したがって,との共有点の数は,の値または範囲によって以下のようになる.
のとき,つの共有点を持つ.
のとき,つの共有点を持つ.
のとき,つの共有点を持つ.
のとき,共有点を持たない.
なお,つの共有点を持つことはない.
(2) とがつの共有点を持つとき,これらの共有点はすべて,中心座標半径の同一円周上にある.また,これらのつの共有点を頂点とする四角形を作るとき,その本の対角線の方程式はそれぞれ,
と
と表される.
【2】 を自然数とする.からまでの目が等しい確率で出るサイコロつを回投げたとき,回目()に出た目をとし,またとする.ここで,が自然数の倍数となる確率について考える.
(1) のとき,である.
(2) の場合を考える.がの倍数のとき,回目に偶数の目が出れば,もの倍数となる.また,がの倍数でないとき,回目に奇数の目が出れば,はの倍数となる.よって,がの倍数でない確率をとおくと,はを用いてと表せる.この式から,との関係を用いてを消去すると,は定数となり,となる.
(3) の場合,も定数となり,となる.
(4) の場合を考える.がの倍数でない確率をとおくと,はを用いて,と表せる.よって,をを用いて表すと,となる.であるから,をを用いて表すと,となる.
について考える.
(1) 曲線は,またはの範囲では円の一部を描く.一方,の範囲では双曲線の一部を描く.
(2) 次に,曲線で囲まれた図形の面積について考える.曲線は,軸に関して対称であり,また,軸に平行な直線に関しても対称であるので,曲線軸,直線に囲まれた部分の面積を求め,それを倍すると面積が求められる.
の範囲におけるの方程式は,
(ただし,)
となる.また,この範囲におけるの方程式は,
(ただし,)
となる.
以上のことから,
となる.
(3) ここで,不定積分
(は実数で,)
について考える.を部分積分法により変形すると,
となり,これをについて解くと,
である.さらに,不定積分
(は実数で,)
について考えると,とおいて計算することで,
(は積分定数)
となることが分かる.
(注:はを用いないで記せ.)
(4) これらを用いて計算すると,最終的に,
となる.