2011　立命館大　情報理工2月8日MathJax

【１】　$xy$平面上の$2$つの放物線

$C_1:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-a$

$C_2:x={\displaystyle \frac{1}{2}}{y}^2-a$

について考える．ただし，$a$を実数とする．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点について考える．$C_1$と$C_2$の式から$y$を消去して得られる式は

$(x^2-2x-2a)(x^2+px+q)=0$

と変形することができ，$p\text{，}q$をそれぞれ$a$または数値を用いて表すと，

$p=\boxed{\text{ア}}\text{，}q=\boxed{\text{イ}}$

となる．したがって，$C_1$と$C_2$の共有点の数は，$a$の値または範囲によって以下のようになる．

$\boxed{\text{ウ}}$のとき，$4$つの共有点を持つ．

$\boxed{\text{エ}}$のとき，$2$つの共有点を持つ．

$\boxed{\text{オ}}$のとき，$1$つの共有点を持つ．

$\boxed{\text{カ}}$のとき，共有点を持たない．

なお，$3$つの共有点を持つことはない．

(2)　$C_1$と$C_2$が$4$つの共有点を持つとき，これらの共有点はすべて，中心座標$\boxed{\text{キ}}\text{，}$半径$\boxed{\text{ク}}$の同一円周上にある．また，これらの$4$つの共有点を頂点とする四角形を作るとき，その$2$本の対角線の方程式はそれぞれ，

$y=\boxed{\text{ケ}}$と$y=\boxed{\text{コ}}$

と表される．

【２】　$n$を自然数とする．$1$から$6$までの目が等しい確率で出るサイコロ$1$つを$n$回投げたとき，$i$回目（$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$）に出た目を$a_i$とし，また$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．ここで，$S_n$が自然数$k$の倍数となる確率$P_n(k)$について考える．

(1)　$k=1$のとき，$P_n(1)=\boxed{\text{サ}}$である．

(2)　$k=2$の場合を考える．$S_{n-1}$が$2$の倍数のとき，$n$回目に偶数の目が出れば，$S_n$も$2$の倍数となる．また，$S_{n-1}$が$2$の倍数でないとき，$n$回目に奇数の目が出れば，$S_n$は$2$の倍数となる．よって，$S_{n-1}$が$2$の倍数でない確率を$Q_{n-1}(2)$とおくと，$P_n(2)$は$P_{n-1}(2)\text{，}{Q}_{n-1}(2)$を用いて$P_n(2)=\boxed{\text{シ}}$と表せる．この式から，$P_{n-1}(2)$と$Q_{n-1}(2)$の関係を用いて$P_{n-1}(2)\text{，}{Q}_{n-1}(2)$を消去すると，$P_n(2)$は定数となり，$P_n(2)=\boxed{\text{ス}}$となる．

(3)　$k=3$の場合，$P_n(3)$も定数となり，$P_n(3)=\boxed{\text{セ}}$となる．

(4)　$k=7$の場合を考える．$S_{n-1}$が$7$の倍数でない確率を$Q_{n-1}(7)$とおくと，$P_n(7)$は$Q_{n-1}(7)$を用いて，$P_n(7)=\boxed{\text{ソ}}$と表せる．よって，$P_n(7)$を$P_{n-1}(7)$を用いて表すと，$P_n(7)=\boxed{\text{タ}}$となる．$P_1(7)=\boxed{\text{チ}}$であるから，$P_n(7)$を$n$を用いて表すと，$P_n(7)=\boxed{\text{ツ}}$となる．

【３】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AD}=3$とし，ベクトル$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とおく．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2$とする．このとき，実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-k)\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$で定められる点$\mathrm{P}$について考える．

(1)　線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(a)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{BD}$上（両端の点を除く）の点であるとき，

$\boxed{\text{テ}}<k<\boxed{\text{ト}}$

である．また，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{BC}$上（両端の点を除く）の点であるとき，

$\boxed{\text{ナ}}<k<\boxed{\text{ニ}}$

である．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}k$を用いて表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}={\displaystyle \frac{1}{1-k}}\{(\boxed{\text{ヌ}})\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ネ}}\overrightarrow{b}\}$

となる．

(b)　$\mathrm{AP}\perp \mathrm{BD}$のとき，$k=\boxed{\text{ノ}}$となる．このとき，$▵\mathrm{ABP}$の面積は$\boxed{\text{ハ}}\text{，}▵\mathrm{ABQ}$の面積は$\boxed{\text{ヒ}}$となる．

(2)　辺$\mathrm{DC}$を延長した直線上に点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{DE}}=3\overrightarrow{\mathrm{DC}}$となるように定める．また，線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と直線$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{R}$とする．$k$が${\displaystyle \frac{1}{5}}\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$を満たして動くとき，線分$\mathrm{AR}$の描く図形の面積は$\boxed{\text{フ}}$となる．

【４】　$xy$平面上の曲線

$E:x^2+|y^2-2\sqrt{3}y|-9=0$

について考える．

(1)　曲線$E$は，$y\leqq \boxed{\text{ヘ}}$または$y\geqq \boxed{\text{ホ}}$の範囲では円の一部$E_1$を描く．一方，$\boxed{\text{ヘ}}\leqq y\leqq \boxed{\text{ホ}}$の範囲では双曲線の一部$E_2$を描く．

(2)　次に，曲線$E$で囲まれた図形の面積$S$について考える．曲線$E$は，$y$軸に関して対称であり，また，$x$軸に平行な直線$y=\boxed{\text{マ}}$に関しても対称であるので，曲線$E\text{，}y$軸，直線$y=\boxed{\text{マ}}$に囲まれた部分の面積$S^{\prime }$を求め，それを$4$倍すると面積$S$が求められる．

　$x\geqq 0\text{，}y\geqq \boxed{\text{マ}}$の範囲における$E_1$の方程式は，

$y=\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}+\boxed{\text{マ}}$（ただし，$0\leqq x\leqq \boxed{\text{ム}}$）

となる．また，この範囲における$E_2$の方程式は，

$y=\sqrt{\boxed{\text{メ}}}+\boxed{\text{マ}}$（ただし，$\boxed{\text{モ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ム}}$）

となる．

　以上のことから，

$S=4S^{\prime }=4({\displaystyle {\int }_0^{\boxed{\text{ム}}}}\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}dx-{\displaystyle {\int }_{\boxed{\text{モ}}}^{\boxed{\text{ム}}}}\sqrt{\boxed{\text{メ}}}dx)$

となる．

(3)　ここで，不定積分

$I={\displaystyle \int }\sqrt{x^2-A^2}dx$（$A$は実数で，$x>A>0$）

について考える．$I$を部分積分法により変形すると，

$I=\boxed{\text{ヤ}}-(I+A^2{\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-A^2}}}dx)$

となり，これを$I$について解くと，

$I={\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{ヤ}}-A^2{\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-A^2}}}dx)$

である．さらに，不定積分

$J={\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-A^2}}}dx$（$A$は実数で，$x>A>0$）

について考えると，$t=x+\sqrt{x^2-A^2}$とおいて計算することで，

$J=\log (\boxed{\text{ユ}})+C$（$C$は積分定数）

となることが分かる．

（注：$\boxed{\text{ユ}}$は$t$を用いないで記せ．）

(4)　これらを用いて計算すると，最終的に，

$S=\boxed{\text{ヨ}}\pi +12\log \left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{2}}\right)$

となる．