2011 関西大 理系学部2月2日実施

Mathematics

Examination

Test

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2011 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部

2月2日実施

3教科型(理科1科目選択方式)

易□ 並□ 難□

【1】  a を正の定数とする.座標平面上に曲線 C 1:y= ax2 と曲線 C2:x =y2 がある.次の問いに答えよ.

(1) 曲線 C 1 C 2 の交点のうち,原点と異なる点の座標を求めよ.

(2) 曲線 C 1 C 2 で囲まれた図形を D とする. D x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V 1 とする.また, D y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V 2 とする. V1 V 2 をそれぞれ a を用いて表せ.

(3) (2)で求めた V 1 V 2 について, V1 V2 となるような a の値の範囲を求めよ.また, V1 -V2 を最大にする a の値を求めよ.

2011 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部

2月2日実施

3教科型(理科1科目選択方式)

易□ 並□ 難□

【2】  a b を実数の定数とし, 3 つの行列

A=( 3 -2 a1 ) R= 12 ( 5-4 6 -5 ) Q=( 12 00 b )

A R=Q A を満たしている.次の   をうめよ.

  AR= QA を満たす a の値は 2 つある.そのうち, A が逆行列をもたないのは, a= のときであり,このとき, b= である. A が逆行列 A -1 をもつのは, a= のときであり,このとき, A-1 = ( ) b = である.

  n 2 以上の自然数として,

Sn= A+A R+A R2+ +A Rn- 1

とおく. AR= QA であるから, Sn は実数 x n yn を用いて

Sn= ( xn 00 yn ) A

と表される.

  a= のときは, xn = yn = である.したがって, E を単位行列として,

E+R+ R2+ +R n-1 =( p nq n rn sn )

とおくと, limn pn = である.

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3教科型(理科1科目選択方式)

易□ 並□ 難□

【3】 数列 { an} n=1 2 3 は,漸化式

(n+ 3) an+ 1-( 2n+ 4) an+ (n+ 1) an- 1=0 n 2

を満たしている.次の問いに答えよ.

(1)  bn= an+ 1- an とおく. bn b n-1 n2 で表せ.

(2)  bn n b 1 を用いて表せ.

(3)  a1= 1 3 a2 =1 2 であるとき, an を求めよ.

(4) (3)で求めた a n に対して, limn ( an) n を求めよ.

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3教科型(理科1科目選択方式)

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(1) 実数 x y z x+y5 = y+2 z4= z+ 3x10 を満たしている. x3 +y3 +z3 =-36 が成り立つのは,

x +y5 = y+2 z4 = z+3 x10

の値が のときである.

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3教科型(理科1科目選択方式)

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(2)  x-y= π 3 であるとき, sin x-sin ycos x+cos y の値は である.

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3教科型(理科1科目選択方式)

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(3) 座標空間における 2 A (0 ,1,1 ) B( 1,3, 0) を通る直線 l を考える. l 上の点 P において,原点 O P を結ぶ直線が直線 l と垂直に交わるとき,点 P y 座標は である.

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3教科型(理科1科目選択方式)

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【4】 次の   をうめよ.

(4) 連立方程式 { 4 (log 2x )2 +2 log2 y=1 x2 y=2 を解くと, x= y = である.

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2月2日実施

3教科型(理科1科目選択方式)

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(5)  2 けた の自然数を N とし, N 1 位と 10 の位の 2 つの数の和を T とする. N T の最小値は である.